複合函數與反函數

一、複合函數

定義：設函數 z = f ( y ) 定義在數集 B ，函數 y = ψ ( x ) 定義在數集 A ，G 是 A 中使 y = ψ ( x ) ∈ B 的 x 的非空子集 （如圖1），即

G = { x ∣ x ∈ A, ψ ( x ) ∈ B } ≠ ∅ 。

對任意的 x ∈ G , 按照對應關系 ψ ， 對應唯一一個 y ∈ B ，再按照對應關系 f ， 對應唯一一個 z（如圖1） ，即 對任意的 x ∈ G 都對應唯一一個 z 。于是在 G 上定義了一個函數 ， 表為 f • ψ ，稱為函數 y = ψ ( x ) 與 z = f ( y ) 的 複合函數 ， 即

( f • ψ) （x） = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G , y 稱為中間變數（如圖2） 。

注：經常将函數 y = ψ ( x ) 與 z = f ( y ) 的複合函數表為 z = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G 。

複合函數與反函數

圖（1）

複合函數與反函數

圖（2）

例題1、

複合函數與反函數

例題1圖

例題2、（三個函數生成的複合函數 ）設 u = √z , z = ln y , y = 2x 3 , 則 u = √[ ln ( 2x 3 )] , x ∈ [ -1 , ∞ ] 。

二、反函數

定義：設函數 y = f ( x ) 在數集 A 有定義。

若 對任意的 x1 , x2 ∈ A ，有 x1 ≠ x2 推出 f ( x 1) ≠ f ( x 2) （或 f ( x 1) = f ( x 2) 推出 x1 = x2 ），則稱函數 y = f ( x ) 在數集 A 一一對應 。

定義：設函數 y = f ( x ) 在數集 A 一一對應 ，即對任意的 y ∈ f ( A) 隻有唯一一個 x ∈ A ,使 f ( x ） = y ，這是一個由 F ( A ) 到 A 的新的對應關系，稱為函數 y = f ( x ) 的反函數 ， 表示為

複合函數與反函數

反函數圖

定理1、若函數 y = f ( x ) 在數集 A 嚴格增加 （嚴格減少），則函數 y = f ( x ) 存在反函數，且反函數 x = f^(-1)( y ) 也嚴格增加（嚴格減少）。

反函數的性質：

1、單調函數必有反函數。有反函數的函數不一定是單調函數，例如反比例函數 y = K/x ( K ≠ 0 ) ;

2、奇函數不一定有反函數，例如 y = sin x , y = x - 1/x ；當奇函數存在反函數時，反函數一定是奇函數。

例如反比例函數 y = K/x ( K ≠ 0 ) 的反函數還是 y = K/x ( K ≠ 0 ) 。

3、偶函數不一定沒有反函數，例如 y = 1 , x ∈ { 0 } 。

反函數與原函數的關系：

1、反函數的定義域是原函數的值域，反函數的值域是原函數的定義域；

2、互為反函數的兩個函數的圖像關于直線 y = x 對稱 ；

3、原函數若是奇函數，則其反函數為奇函數；

4、若函數是單調函數，則一定有反函數，且反函數的單調性與原函數的一緻；

5、原函數與反函數的圖像若有交點，則交點一定在直線 y = x 上或關于直線 y = x 對稱出現 。

原函數 y = f ( x ） 與 反函數 y = f^(-1)( x ) 的圖像關于直線 y = x 對稱

複合函數與反函數

對稱圖（1）

幂函數中原函數與反函數的圖像關于直線 y = x 對稱

複合函數與反函數

（2）

指數函數和對數函數互為反函數，圖像關于直線 y = x 對稱

複合函數與反函數

指數函數與對數函數圖（1）

複合函數與反函數

指數函數與對數函數圖（2）

複合函數與反函數

指數函數與對數函數圖（3）

例題3、