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在解析幾何的以橢圓為載體的解答題中,第一問往往是先求橢圓方程,能否正确求出橢圓方程是解題的先決條件,下面我們總結求橢圓方程的幾個常用方法：

方法一　定義法

【例1】 導學号 49612220 已知圓C:(x-3)2 y2=100及點A(-3,0),P是圓C上任一點,線段PA的垂直平分線l與PC相交于Q點,則Q點的軌迹方程是

思路點撥：線段中垂線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等,對于點Q,則|QA|=|QP|,P,C,Q三點共線,可得點Q到兩個定點A,C的距離之和等于常數,根據橢圓定義可得橢圓方程中的系數.

反思歸納：當動點滿足到兩定點距離之和為常數時(該常數大于兩定點之間的距離),動點的軌迹為橢圓,可以在特定的坐标系中直接得出橢圓方程的系數,寫出橢圓方程。

方法二　待定系數法

【例2】 (1)已知橢圓的長軸是短軸的3倍,且過點A(3,0),并且以坐标軸為對稱軸,求橢圓的标準方程：

思路點撥:(1)即在a=3b的情況下,橢圓過點A(3,0),分焦點在x,y軸分類求解;

思路點撥：（2）橢圓的焦點位置不确定,可以設橢圓方程為一般形式mx2 ny2

=1(m>0,n>0,m≠n),根據橢圓過兩個點得到兩個獨立的方程,通過這兩個獨立的方程求解待定的系數即可求出橢圓方程。

反思歸納：(1)求解橢圓标準方程時,如果不能确定橢圓焦點的位置,要有分類讨論的思想意識;(2)當橢圓的焦點位置不确定時可以設橢圓方程的一般形式mx2 ny2=1(m>0,n>0,m≠n),根據題目的其他已知條件得到兩個獨立的方程,通過方程确定橢圓方程中的系數,這種待定系數的方法是求解橢圓方程的基本方法之一。

方法三　代入法

思路點撥：動點M的軌迹為圓,建立動點T的坐标與動點M的坐标之間的關系,代入動點M的軌迹方程得出動點T的軌迹的方程。

反思歸納：

方法四　交軌法

思路點撥：設出動點坐标,利用斜率之積得出方程,化簡整理方程即得。

反思歸納：當所求的曲線是由兩條動直線的交點P(x,y)所形成的,既然是動直線,那麼這兩條直線的方程就必然含有變動的參數,通過解兩直線方程所組成的方程組,就能将交點P(x,y)的坐标用這些參數表達出來,也就求出了動點P(x,y)所形成的曲線的參數方程,消掉參數就得到了動點P(x,y)所形成的曲線的普通方程。

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