如同，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2√3，點O是邊AB上的一個動點，以點O為圓心，OA為半徑作圓O，與邊AC交于點M，
（1）如圖1，當圓O經過點C時，求圓O的直徑；
（2）如圖2，當圓O與邊BC相切時，切點為N，求圓O與三角形ABC重合部分的面積；
（3）如圖3，當圓O與邊BC相交時，交點為E、F，設CM=x，判斷AE×AF是否為定值，若是，求出定值；若不是，用含x的代數式表示。
分析：（1）由勾股定理解得直徑等于4；由此可得∠B=30°，∠A=60°，這是後續的基礎；
（2）由∠A=60°可知三角形AOM是等邊三角形，則問題易解。
（3）第三問有點難度。
設AB與圓O交于點Ｑ，連接QE,如下圖，
有△AEQ∽△ACF（一個直角，由圓内接四邊形性質得∠AFC=∠AQE），
有對應邊比例關系可得AE×AF=AC×AQ。
連接QM，△AQM∽△ABC，可得AQ/AB=AM/AC，
AQ=4-2x，所以AE×AF=8-4x，0≤x＜4/3（有第二問解得BC和圓相切時半徑為4/3）
小結：對大多數學生來說，第三問有點難度，考察圓的内接四邊形的性質，圓周角的性質，相似三角形的判定，變量取值範圍，綜合性極強。
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