一元二次方程的解法

(1)直接開平方法：方程符合x²＝m(m≥0)或(x±m)²＝n(n≥0)的形式；

(2)配方法：①二次項系數化為1；②移項；③配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；④原方程寫成a(x＋h)²＝k的形式；⑤當k≥0時，直接開平方求解；

(3)公式法：①化為一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b²－4ac的值；④當b²－4ac≥0時，将a，b，c的值代入得x＝________________；

(4)因式分解法：①将方程右邊化為0；②将方程左邊進行因式分解；③令每個因式為零，得兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，得原方程的兩個根．

解方程思想：

1.優先考慮因式分解法與直接開平方法；

(1)若缺少常數項用因式分解法求解；

(2)若缺少一次項，用平方差分解因式法或直接開平方法。

2.如果二次項系數為1，一次項系數為偶數，考慮使用配方法。

3.如無要求，其餘使用公式法求解。

4.整體因式分解法的思想要擁有。

5.拿到方程先觀察，合理進行化簡。

6.實際問題方程更要合理整理化簡，選擇恰當的解法。

實際問題常見類型

1.傳播問題

若傳染源的數量是a，傳播速度是x，則一輪傳染後，感染者總數是a ax,二輪傳染時，傳染源數量為a ax，傳播速度不變下，所以二輪傳染後，感染者總數是

a ax x(a ax)

=a[1 x x(1 x)]

=a(1 x)²

注意：

第二輪傳染中，傳染源的數量是a(1 x),新傳染的數量是ax(1 x);

解法，應用直接開平方法。

要對答案進行取舍。

例： 雞瘟是一種傳播速度很快的傳染病，一輪傳染為一天時間，紅發養雞場于某日發現一例，兩天後發現共有169隻雞患有這種病．若每例病雞傳染健康雞的隻數均相同，則每隻病雞傳染健康雞的隻數為多少？

2.數字問題

若一個兩位數的十位上的數字為a，個位上數字為b，則這個數是10a b;若一個三位數的百位上的數字是a，十位上的數字為b，個位上數字為c，則這個數是100a 10b c.

例：一個兩位數的十位數字比個位數字大2，把這個兩位數的個位數字與十位數字互換後平方，所得的數值比原來的兩位數大138，求原來的兩位數？

3.平均增長率問題

a為起始量，Q為終止量，n為增長（或降低）的次數，平均增長量公式為

a(1 x)ⁿ=Q （x為平均增長率）； a(1-x)ⁿ=Q （x為平均降低率）

例．某縣為發展教育事業，加強了對教育經費的投入，2017年投入5000萬元，預計2019年投入8000萬元．設教育經費的年平均增長率為x，則列出的方程為____________．

4.商品銷售問題

總利潤=單件利潤×銷售件數

銷售件數=原銷售件數 降價增加件數 =原銷售件數-漲價減少件數

考慮到對定價的限制；注意商家的态度（更加讓利，貨源緊張壓貨）

解方程時先化簡整理，思考用十字相乘分解因式或配方法優先

例1：某商場銷售一批襯衫，現在平均每天可售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，商場決定采用降價措施，經調查發現，如果每件襯衫的售價降低1元，那麼商場平均每天可多售出2件．商場若要平均每天盈利1200元，每件襯衫應降價多少元?

例2：某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定的關系．每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元．要使每盆的盈利達到15元，每盆應多植多少株？設每盆多植x株，則可以列出的方程是________.

5.圖形面積問題

涉及常見公式。

三角形面積 矩形面積 菱形面積

梯形面積 圓面積 勾股定理 周長公式

圖形問題常将數量關系隐含在圖形中，審題時需要結合圖形分析，當所涉及的圖形是不規則圖形時，其關鍵是将不規則圖形分割或組合成規則圖形，然後通過規則圖形面積和或差列方程。

面積問題常見類型：

①如圖①，陰影部分面積為：S＝(a－2x)(b－2x)；

圖①

②如圖②，③，陰影部分的面積為：S＝(a－x)(b－x)．

例：如圖，在寬為20 m，長為32 m的矩形地面上修築同樣寬的道路(圖中陰影部分)，餘下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540 m²，求道路的寬．如果設小路寬為x m，根據題意，所列方程正确的是( )

A．(20－x)(32－x)＝540

B．(20－x)(32－x)＝100

C．(20＋x)(32－x)＝540

D．(20－x)(32＋x)＝540

6.握手問題（循環問題）

比賽循環；互相握手；

互發問候短信（互贈賀卡）；

平面内n個點，構成線段條數；

多邊形對角線條數；

1 2 … n=?

規律關系式

分清互聯次數；對應好相應的公式；整理成一般形式求解；檢驗解是否合理。

例1：某航空公司有若幹個飛機場，每兩個飛機場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，則這個航空公司共有飛機場多少個？

例2：新年來臨，某團隊若幹人互發微信進行問候，共發了30條微信，問這個團隊共有幾人？

例3： 如圖有一個三角形點陣，從上向下有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點。

（1）容易發現，10是三角點陣中前4行的點數之和．你能發現300是前多少行的點數之和嗎？

（2）三角點陣中前n行的點數的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．

通過以上歸納，希望能夠有一點收獲。