本文信息量較大，老黃就不啰嗦直奔主題了。

求x^3/3-x^2 2=0的實根，保留三位有效數字.

解法1：牛頓切線法的應用，這是一種數值求解法，隻能得到方程的近似解。關于牛頓切線法的原理，老黃在“老黃學高數”系列視頻第211講中有詳細介紹，如果沒有基礎，可以先搜出來看看。

解1：記f(x)=x^3/3-x^2 2，則f’(x)=x^2-2x, f”(x)=2x-2,

f’(0)=f’(2)=0, 【即函數有兩個穩定點】

f”(0)=-2<0, f”(2)=2>0, f有極大值f(0)=2>0, 極小值f(2)=2/3>0, 【說明函數在兩個極點之間沒有零點】

由三次函數的性态知, f(x)=0隻有一個實根ξ.【當三次函數y=ax^3 bx^2 cx d的系數a>0，且兩個極值都大于0時，函數有唯一零點，在兩個極值點的左側。】

又f(-1)=2/3>0, f(-2)=-14/3<0; ∴ξ∈(-2,-1).【有經驗的話，檢驗很快可以完成，沒有經驗的話，可能需要多檢驗幾次，就是要得到一個單位區間，兩個端點的函數值相反。由根的存在性定理，就可以知道函數的零點在這個區間上。而且這個區間上，函數還必須具有單調性和凸性】

當x∈[-2,-1]時，f’(x)>0，f”(x)<0.【牛頓切線法有四種情形，這屬于第三種情形，如下圖所示，注意，這個圖代表牛頓切線法的一種情形，而非三次函數圖像的一部分】

從點A(-2,-14/3)作切線與x軸相交于x1=-2- (f(-2))/(f'(-2)) ≈-1.417.【這一步是牛頓切線法的核心步驟，接下來按一般的方法是檢驗x1與方程實根的誤差。但方法并非隻有一種，下面采用的是繼續求x2的方法，反正x1鐵定是不準确的嘛】

x2=-1.417- (f(-1.417))/(f' (-1.417)) ≈-1.219.【你瞧，這個結果和x1相差了差不多有0.2，可見x1有多不準确，那x2怎麼樣？還是不合适，還得繼續“相親”】

x3=-1.219- (f(-1.219))/(f′ (-1.219)) ≈-1.196. 【感覺還不滿意，因為它與x2相差了0.023，誤差可能還比較大，再“相”一個】

x4=-1.196- (f(-1.196))/(f′ (-1.196)) ≈-1.195. 【注意到沒有，{xn}似乎以-1.20為極限，所以就以-1.20為近似解，正好保留3位有效數字】

……取ξ≈-1.20.

下面看看這個函數在零點和兩個極值點附近的圖像是怎麼樣的，當然，畫圖像并非必要的。

那麼這種解法得到的近似解，到底精确度怎麼樣呢？下面再嘗試第二種方法。

解法2：卡爾丹公式法是一種解析法，理論上是可以得到三次函數的準确根的。但它是一個複雜的根式形式，不取近似數，其實意義也不大。這種方法必須先把方程化為x^3 px q=0的形式。

解：将方程化為：t^3-3t 4=0, t=x-1,【這一步如果你理解不了，那很好辦，把t=x-1代回去就可以化為原方程】

p=-3, q=4, △=(q/2)^2 (p/3)^3=3>0, 【卡爾丹公式中，判别式△>0，說明方程有一個實根和兩個共轭虛根】

u=三次根号(-q/2 √∆), v=三次根号(-q/2 √∆),

t=u v=三次根号(-q/2 √∆) 三次根号(-q/2 √∆)≈-0.645-1.551=-2.20, 【直接将計算器用起來，不要忘了x=t 1】

x=t 1=-1.20.

比較一下兩種方法，當然是卡爾丹公式法更好了。但卡爾丹公式法隻是針對三次方程的，更高次的方程，或者其它不具有求根公式的方程要求近似解，還要運用牛頓切線法，才有普遍性哦。