（tip：本文章适用于梳理知識體系）

向量是線性代數的重點和難點，向量是矩陣，同時矩陣又是由向量組構成的，向量組與矩陣的關系非常緊密。

首先要準确理解向量組的線性相關性及一個向量是否可以由一個向量組線性表示，熟練掌握線性相關性與線性表示有關的基本性質.這兩個問題本質上對應齊次線性方程組是否有非零解及非齊次線性方程組是否有解，事實上向量也是研究方程組的重要工具之一。

其次，理解矩陣秩的定義、基本性質、向量組的秩與由向量組構成的矩陣的秩之間的關系，在方程組中，系數矩陣的秩本質上就是方程組中有多少個約束條件(其實就是初等數學中化簡後的方程組的約束方程個數)。對齊次線性方程組來說約束條件的多少決定了其隻有零解還是有非零解，對非齊次線性方程組來說，約束條件更是決定了方程組是否有解，以及有解時是有唯一解還是有無窮多解的問題，所以無論向量組的秩還是矩陣的秩都是非常重要的。

一、向量的概念及運算

(一)基本概念

1.向量

2.向量的模(長度)

3.向量的單位化

4.向量的三則運算

5.向量的内積

(二)向量運算的性質

1.向量三則運算的四點性質

2.向量内積運算的四點性質

二、向量組的相關性與線性表示

(一)基本概念

1.相關性

2.線性表示

(二)向量組相關性與線性表示的性質

1.向量組線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其餘向量線性表示；

2.設向量組a1,···,am線性無關則：

（1）若a1,···,am,b線性相關，則b可由a1,···,am唯一線性表示；

（2）a1,···,am,b線性無關的充要條件是b不可由a1,···,am線性表示。

3.若一個向量組線性無關，則該向量組的任何部分向量組都線性無關；

4.若向量組有一個部分向量組線性相關，則該向量組一定線性相關；

5.設a1,···,an為n個n維向量，則a1,···,an線性無關的充要條件是|a1,···,an|0；

6.設a1,···,an為n個m維向量，若m<n(左右長，上下短)，則向量組a1,···,an一定線性相關；

7.向量組增加向量個數提高相關性；向量組增加維數提高無關性；

8.設a1,···,an為兩兩正交的非零向量組，則a1,···,an線性無關，反之不對。

速記：

向量組線性相關：

設a1,···,am為向量組A，存在不全為0的k1,···，km，使k1*a1 … km*am=0（有非零解）或至少有一個向量能由其餘向量線性表示（幾何意義：兩向量共線、三向量共面等；代數意義：方程組有多餘方程），則向量組a1,···,am線性相關。

線性相關——r(A)<m；線性無關——r(A)=m

線性相關證法的兩個角度：1. 按定義轉化為是否隻有零解問題 2. 矩陣秩

三、向量組等價、向量組的極大線性無關組與矩陣的秩

(一)基本概念（如标題中的三個基本概念要掌握）

(二)向量組秩的性質

1.任何矩陣，三秩相等(自身的秩=自身行秩=自身列秩)；

2.設向量組A：

a1,···,am； 向量組B：b1,···,bn 為兩個維數相同的向量組，若A可由B線性表示，則A的秩不超過B的秩，即r(A)r(B)；

3.等價的向量組秩相等，反之不對。

注意：矩陣、向量、方程組之間的關系

四、n維向量空間

(一)基本概念

1.n維向量空間

2.基

3.向量在基下的坐标

4.過渡矩陣

(二)基本性質