從參數到定值，抛物線下的平行四邊形存在性探究

我們将含參數的二次函數解析式通常稱為動态抛物線，研究這類動态函數圖象，需要對二次函數圖象與性質有深入的理解，比例開口方向、對稱軸、頂點坐标分别由哪些參數決定，它們之間的關系是什麼等；而對于幾何圖形在二次函數背景下的應用，則需要觀察它們的特殊點的坐标及特殊邊所在直線的解析式，同時還要了解本身具備的幾何性質，兩方面結合起來，才更容易找到解題的思路。

存在性探究，是近年來全國各地壓軸題的一種命題方向，即給定條件，探索此種條件下結論的存在性，基本思路就是在該條件為出發點推導，得到符合的結論。

題目

如圖，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物線y=-x² bx c(c>0)的頂點為D，與y軸相交于點C，過點的直線CA與抛物線交于另一點A(點A在對稱軸左側)，點B在AC的延長線上，連接OA，OB，DA和DB.

(1)如圖1，當AC∥x軸時，

①已知點A的坐标是(-2,1)，求抛物線的解析式；

②若四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b²=4c；

(2)如圖2，若b=-2，BC/AC=3/5，是否存在這樣的點A，使四邊形AOBD是平行四邊形？若存在，求出點A的坐标；若不存在，請說明理由.

解析：

(1)當AC∥x軸時，請注意此時A、B、C三點縱坐标相同，後面兩個結論的證明都會用到它；

①給出A(-2,1)，相當于也給出了C(0,1)，于是解析式中的參數c=1，再将點A坐标代入y=-x² bx 1中，求出b=-2，于是y=-x²-2x 1；

②和前一小問相比，少了點A坐标，即抛物線解析式不确定，增加了平行四邊形AOBD，因此需要對這個幾何條件進行解讀，仍然注意A、B、C三點縱坐标相同，其中點C(0,c)，我們将y=c代入y=-x² bx c中，得到x²-bx=0，解得x1=0，x2=b，所以求出了A(b,c)，由抛物線頂點公式寫出D(b/2,c b²/4)；

對于平行四邊形AOBD中對邊平行且相等，可以這樣來看，點A向右向上平移若幹個單位得到點D，同樣的，點O向右向上平移相同個單位得到點B，點A與點D縱坐标相差b²/4個單位，因此得到點B縱坐标為b²/4，所以b²/4=c，即b²=4c；

另一種解讀則是△ABD和△AOB是一對全等三角形，則它們對應邊AB上的高相等，即A、D兩點縱坐标的差等于點B縱坐标；

(2)将b=-2代入解析式中，得y=-x²-2x c，而BC:AC=3:5這個條件，可構造一對相似三角形，過點A、B分别向y軸作垂線，如下圖：

對于△ACF∽△BCE，它們的相似比是5：3，因此我們在設點A坐标時，不妨利用好這個相似比，設點B橫坐标為3t，點A橫坐标為-5t，其中t>0；

點A在抛物線上，則A(-5t,-25t² 10t c)，再寫出頂點D(-1,c 1)，和前面解讀平行四邊形條件的方法類似，從點A到點D，橫坐标增加了5t-1，縱坐标增加了25t²-10t 1，因此從點O到點B，應該進行同樣的坐标變化，所以B(5t-1,25t²-10t 1)，前面我們設點B橫坐标為3t，于是3t=5t-1，解得t=1/2，則B(3/2,9/4)，A(-5/2,c-5/4)；

現在可表示出CE=9/4-c，CF=c-(c-5/4)=5/4，且CE:CF=3:5，列出方程為15/4=5(9/4-c)，解得c=3/2，則存在這樣的點A(-5/2,1/4)；

解題反思

本題解法不止一種，從不同角度看條件，能得到不同思路，這也是命題較為開放的結果，對于這一類問題，含參數的抛物線，一旦參數成為定值，則變成靜态圖，相對就好處理得多，因此，每個參數究竟對函數圖象有什麼影響，需要在初學抛物線時，加深對基本圖象性質的理解。

對于二次函數的教學，教材中的例題往往都帶有擴展性，雖然題目本身很基礎，但不影響我們在教學過程中對其進行改編，将數字系數換成參數便是一種變式方法，對于參數，并不需要過于害怕，我們的一般式、頂點式、交點式，都是用參數書寫。

關于幾何圖形在二次函數中的應用，優先考慮其幾何性質，再從解析的角度去解釋，二者需要結合起來，才能在解題時遊刃有餘。

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