一、概念整理

1．角的概念：

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點是角的頂點，兩條射線是角的邊

角也可以看成是一條射線繞着它的端點旋轉而成的．

2．角的表示方法：

(1)用三個字母及符号“∠”來表示．

(2)以某點為頂點的角隻有一個時，也可以用頂點的這一個大寫字母來表示這個角．

(3)用一個數字或希臘字母表示一個角．

3．方位角的基準方向：

以南北為基準方向： 南偏東、南偏西、北偏東、北偏西

4．度分秒的換算：

1°＝60′＝3600″

6．角平分線定義：

若一條射線把一個角分成兩個相等的角，那麼這條射線是這個角的角平分線．

7．角平分線的書寫：

二、專題鞏固

1、概念剖析

例1：

判斷正誤：

(1)平角是一條直線．

(2)周角是一條射線．

(3)兩個銳角的和是鈍角．

(4)放大鏡下，一個角變大了．

(5)∠AOB和∠BOA是同一個角．

(6)如圖所示，圖中∠1可表示成∠A，∠2可表示成∠D，∠3可表示成∠C．

解析：

(1)錯誤，角和直線是兩個完全不同的概念，隻是平角看似一條直線上有一個端點，實際平角應該如下表示：

(2)錯誤，角和射線是兩個完全不同的概念，隻是周角看似一條射線，實際周角應該如下表示：

(3)錯誤，如銳角30°＋40°＝70°，還是銳角，30°＋60°＝90°，是直角．

(4)錯誤，放大鏡下，角度不變，角的大小隻與兩條邊張開的程度有關．

(5)正确，隻要保證中間字母相同，第一與第三個字母交換位置，仍是同一個角．

(6)錯誤，∠1應該表示成∠DAC，∠2應該表示成∠ADC，∠3應該表示成∠ECF．

2、兩解問題

例2：

已知∠AOB＝45°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度數．

分析：

由于本題不清楚射線OC的位置，故需分兩種情況讨論，即OC在∠AOB内部，或在其外部．

解答：

①射線OC在∠AOB内部，

∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝45°－30°＝15°，

②射線OC在∠AOB外部，

∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋30°＝75°，

綜上，∠AOC＝15°或75°．

變式：

已知∠AOB＝60°，其角平分線為OM，∠BOC＝20°，則∠MOC＝____°

分析：

我們可以根據題意，畫出圖形，分兩種情況讨論：射線OC在∠AOB内部和外部．

解答：

3、度分秒的轉化

例2：

(1)12.53°用度、分、秒表示為__________．

(2) 56°25′12″＝__________°

(3) 18°37′55″＋39°46′23″ ＝__________°

(結果用度表示)．

分析：

度分秒的轉化是一個難點，但是隻需掌握一定的方法，即可手到擒來．

首先，由度轉化為度分秒，需要一步一步乘，什麼意思呢？先把度數的小數部分×60，轉化為分，再把分的小數部分×60，轉化為秒．

由度分秒轉化為度，則可以分别直接除，即把分÷60，轉化為度，同時把秒÷3600，也直接轉化為度，然後都化成小數，不能化成有限小數的，保留帶分數形式，加上括号．

對于度分秒的加減法，注意度與度，分與分，秒與秒之間運算，60一進位．

解答：

三、難點提升

1、方程思想

例1：

已知∠AOB＝45°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度數．

分析：

由于本題不清楚射線OC的位置，故需分兩種情況讨論，即OC在∠AOB内部，或在其外部．

解答：

設∠BOD＝x°，

∵∠AOC＝(4x－15)°，

∵∠COD＝90°，

∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB－∠COD＝90°

x＋(4x－15)＝180－90，

解得：x＝21，

答：∠BOD＝21°

變式：

如圖，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝29°，求∠AOB的度數．

分析：

顯然，本題依然可以利用方程求解，設∠COB＝x°，借助已知條件，用含x的代數式表示出∠AOB度數，進而表示出∠COD度數，利用∠COD＝29°，可建立方程，再求∠AOB．

解答：

2、雙角平分線問題

例1：

已知∠AOB＝90°，∠BOC＜90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數．

分析：

顯然，這裡的∠AOB是确定的，而新引入的射線OC不确定，因此，我們需要分類讨論，雙角平分線問題與雙中點問題十分類似，

我們首先關注被平分的角，∠AOC，∠BOC中，哪條邊出現了兩次，即公共邊，顯然是OC，

那麼∠MON的兩邊，OM，ON，必然要和OC組成∠MOC和∠NOC，而∠MON必然是這兩個角的和或差．

至于何時取和，何時取差，我們可以分别作圖，根據OC的位置不同，分别讨論求解．

解答：

小結

雙中點問題和雙角平分線問題，可以用一句話概括，

點在線段上，射線在角内部，一半加一半，

點在線段延長線上，射線在角的外部，一半減一半，

我想，你應該能好好體會．至于上一題，如果∠BOC＞90°，又是怎樣的情況呢？就作為思考題吧！