1.一隻小蟲從棱長為2的正三棱錐(如圖)中的A點爬到B點(為所在線段的中點)，且小蟲隻在面OAC和面OCD中移動。問該小蟲爬過的最短路程為

2.甲、乙、丙、丁四支足球隊展開單循環比賽，任意兩隊之間都要比賽1場，已知甲隊已比賽了3場，乙隊已比賽了2場，丙隊已比賽了1場，則丁隊已比賽了幾場

A.3

B.2

C.1

D.0

3.小明所在的高二年級共10個班300人，每個班級人數都不相同。若人數第4多的班級有31人，則人數最多的班級至少有多少人

A.37

B.36

C.35

D.34

4.一個正十二面體随意翻動，每次翻動朝上一面的顔色與翻動前都不同，那麼這個正十二面體的顔色至少有幾種

A.3

B.4

C.5

D.6

5.朝陽公園拟定在一個400米的環形跑道兩側每隔五米種植1棵香樟樹(内外環周長差以及樹樁直徑長度忽略不計)，并把這項植樹任務平均分配給公園的4個工人。但1個工人正準備休假，為了使該工人正常休假，且其他工人的工作量減少

，則還需要外聘幾個工人

A.1

B.2

C.3

D.4

答案解析

1【解析】B。将面OAC和面OCD在同一平面内鋪開，可得邊長為2的菱形OACD(如下圖)，小蟲爬過的最短路程應為線段AB的長度。因為△OCD為等邊三角形，又B點為OD中點，因此∠OCB=30°，∠ACB =∠ACO ∠OCB=90°，則△ACB為直角三角形。由勾股定理可知

，AB2=AC2 BC2，所以

。

2.【解析】B。一場比賽有兩支足球隊參加，則所有隊伍進行的比賽場數之和必為偶數，排除A、C兩項。總共有四支足球隊單循環比賽，甲隊已比賽了3場，則必與丁隊進行過一場比賽，排除D項。

本題也可用常規方法分析求解。甲、乙、丙、丁四支足球隊，甲隊已比賽了3場，說明甲隊與乙、丙、丁隊各賽了1場。丙隊隻比賽了1場，說明丙隊隻和甲隊比賽了1場。乙隊已比賽了2場，隻能是同甲隊、丁隊各賽1場。因此丁隊共進行了同甲隊、乙隊的2場比賽，B項正确。

3.【解析】B。根據最不利原則，要使人數最多的班級人數盡量少，則其他班級人數應盡可能地多。設人數最多的班級最少有x人，人數排名第二的班級有(x-1)人，人數排名第三的班級有(x-a)人(a>1)，則其他班級人數如下表所示：

由上表可知，人數排名4~10的班級總人數為

，則排名前3的班級總人數為104。根據題意列方程x (x-1) (x-a)=104，解得

。因為a是整數且a>1，所以當a取3時，方程有最小整數解x=36。

4.【解析】B。正十二面體每個面與五個面相鄰，令朝上一面顔色為A，與其相鄰的面顔色依次為B、C、D、B、C，而另六個面中，令朝下一面顔色為B，此時與其相鄰的五個面均能與各自的相鄰面區别開顔色。因此正十二面體最少需要4種顔色才能使朝上一面的顔色每次翻動後都與之前不同。本題選B。

實際上，如果熟悉著名的“四色定理”，本題可快速作答。四色定理：每個平面(或球面)地圖都可以用不多于四種顔色來染色，而且沒有兩個鄰接的區域顔色相同。題幹中正12面體可看作一個球面，根據“四色定理”，使用不多于四種顔色，就可以使相鄰兩個面顔色不同，因此C、D兩項可以排除。正十二面體每個面與5個面相鄰，這5個面首尾相連，5是奇數，則至少需要3種顔色才能使這5個面之間任意相鄰兩個面顔色不同，而這5個面圍住的1個面的顔色與這5個面都不相同。綜上分析，隻考慮正12面體的6個面時，就需要至少4種顔色才能滿足要求，排除A項。

5.【解析】B。400米跑道每隔五米種1棵香樟樹，兩側都種，則共種植香樟樹400÷5×2=160(棵)，減少工作量後，每人的工作量為

，共需要160÷32=5(人)，有一個工人正在休假，所以需要再外聘2個工人。

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