高中數學雙曲線表達式-tft每日頭條

既然一個複數z=x yi可以表示一個點(x,y)，自然地，我也就想，那麼顯然可以用複數來表示我們常見的一些曲線。

用複數表示的曲線，最簡單的是圓。

方程|z|=1表示單位圓，很容易理解，這個方程用x,y來表達就是

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）1

顯然，方程|z|=1更簡潔，我喜歡。

我們在這個最簡單方程基礎上，繼續往複雜處挖掘。

方程|z−1|=2表示什麼曲線？

還是用上面的手法研究。

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）2

哦，它表示以(1,0)為圓心，2為半徑的圓。

我們有理由猜：

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）3

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）4

很顯然，用複數表示圓的方程很簡潔。

我們可以從另一個角度來看圓的方程。

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）5

現在我們可以繼續往複雜的圖形上攻擊了。

橢圓怎麼表示？

橢圓的定義：到兩個定點的距離之和為定值的點的軌迹。

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）6

這就是橢圓的軌迹方程。

在我的角度看來，橢圓的複數形式方程，幾何性質很清晰，卻不及代數形式更漂亮。

順理成章，雙曲線方程就可以表示成

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）7

很容易，就是到兩定點的距離之差的絕對值為定值

同樣，在我看來，這個形式也是幾何性質清晰，卻不漂亮。

那麼抛物線呢？很遺憾，用複數表達兩點間的距離很方便，表示點到直線的距離卻非常難，而抛物線的定義是：到定點的距離等于到定直線的距離。

好吧，按照我的習慣，先搞簡單再搞複雜的，既然抛物線如此複雜，我們就不妨先放下吧。看看還有沒有更簡單的。

對了，直線還沒有讨論呢。

直線有多種定義方式，最方便用複數來描述的形式，莫過于中垂線形式：到兩定點距離相等的點的軌迹，是直線。

于是，直線的複數形式方程就可以簡潔寫成：

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）8

方程簡單固然簡單了，卻不符合我們高中生的習慣。我們的習慣定義是：經過兩點确定一條直線。

設兩點為P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )則直線方程。。。。

哦，買，噶，不會複數形式啊，我隻會寫參數方程

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）9

參數方程是高中課本教了的，我這裡就不抄書了。

看着參數方程，我突然有個很棒的主意

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）10

通過“硬算”，我們居然得到了一個很簡潔的結論，比參數方程還簡潔漂亮。

這是我一直推崇的“漂亮的數學”：原理簡單，推導繁瑣，結論好記。

現在，我得到了有别于圓（依托距離概念）的思路，我們還可以直接将普通方程或者參數方程，通過計算轉換成複數形式。

複數z和實數x,y的關系顯然有以下：

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）11

太棒了！現在可以解決最後一個問題，抛物線了。

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）12

哈哈，完美！

我們還可以用同樣的辦法求直線的複數方程。

高中數學雙曲線表達式（高中常見曲線的複數形式）13

完美，second！

小結：求曲線的複數方程思路有二。利用複數的幾何性質，或者利用複數與實數的互相轉化。