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高數第二章導數與微分知識點總結
高數第二章導數與微分知識點總結
更新时间:2025-07-14 07:57:10

高數第二章導數與微分知識點總結?求:lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3如果按照等價無窮小來替換的話,我來為大家講解一下關于高數第二章導數與微分知識點總結?跟着小編一起來看一看吧!

高數第二章導數與微分知識點總結(數學筆記-同濟第七版高數)1

高數第二章導數與微分知識點總結

一、引言

求:lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

如果按照等價無窮小來替換的話

tanx~x, sinx~x

所以

lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x->0)(x-x)/x^3

=0

這是錯誤的用法

因為分子分母不同階,用等價無窮小來替換的話“精度”不夠,所以會造成錯誤

正确的解法是:

lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x->0)[tanx(1-cosx)]/x^3

=lim(x->0)tanx/x*lim(x->0)(1-cosx)/x^2

=1*1/2

=1/2

從上面的題目可以看出對于0/0型求極限用等價無窮小替換有局限性

因此引入了求(0/0型)極限的方法:洛必達法則

二、洛必達法則

1、0/0型

若:(1)f(x),g(x)在x=a去心鄰域内可導且g'(x)≠0

(2)lim(x->a)f(x)=0, lim(x->a)g(x)=0

(3)lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]=A

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