我們高中時都學過一個非常常用的定理，零點定理，或者也叫介值定理(弱化版)。它的内容叙述如下：

它的圖形畫出來如下所示

這個定理表面上看起來非常顯然，似乎不需要證明。但事實上，數學上任何一個定理，即使看起來再顯然，也是需要經過嚴格證明的。我之前曾寫過一篇文章介紹過零點定理的證明，使用的是數學分析中的确界原理。文章鍊接如下：

一個看似極其顯然，證明卻極其困難的數學定理

确界原理是實數完備性定理中的一個重要定理，與此同時還有另外五個與之等價的定理，一共六個定理，數學專業的同學會在《數學分析》這門課程裡面學的，這六個定理都可以用來證明零點定理，因此我在文章中說，它的證明方法一共有六種。後來有網友評論到，其實可以跳出實數完備性定理的框架，用更高級的數學知識，比如拓撲學來證明。于是我在其啟發下，想到了一種用拓撲學的知識來證明該定理的方法，本文就來介紹，歡迎讨論。

當然既然要利用拓撲學的知識，就首先對拓撲學的一些基本概念做一些簡要介紹。拓撲學的研究對象非常複雜，但僅就零點定理而言，我們隻需要理解一維實數軸上的拓撲空間就足夠了，我将用最簡單的語言來進行描述。

設U為實數集的一個子集，如果U滿足如下條件：

從U中任取一個數a，都可以找到一個以a為中心的小的開區間(a-δ，a δ)，使得這個小區間完全包含在U裡面。

那麼就稱U為一個開集。

任何一個開區間都是開集，比如我們拿(0，1)舉例子。我在上面任意選一個數，比如0.5，那麼(0.4，0.6)是完全包含在(0，1)之間的。選的數離1很近也不要緊，比如0.99，那麼(0.989，0.991)是完全包含在(0，1)裡的，諸如此類，所以開區間(0，1)就是一個開集。

當然開集不隻是包含開區間，任意兩個開區間的并集也是開集，比如(0，1)∪(2，3)。

同時，有界閉區間就不是開集了，比如閉區間[0，1]。因為我可以在上面取一個點1，任何一個以1為中心的小的開區間都不能完全包含在[0，1]之内。所以有界閉區間不是開集。

那麼閉區間到底是一個什麼樣的集合呢？這時我們就需要引入閉集的概念。

設V為實數集的一個子集，如果它的補集是一個開集，那麼稱V為一個閉集。

于是很顯然，一個有界閉區間就是一個閉集。我們還拿[0，1]舉例子，它的補集(-∞，0)∪(1， ∞)是一個開集，因此它是一個閉集。同樣道理，兩個閉區間的并集也是閉集。

從上面對開集的定義中，我們可以很明顯地看出如下定理：

但凡定理都需要證明，這個定理的證明比較容易，我們就拿兩個集合舉例。假設集合A與集合B都是開集，下面我們來研究A∪B。從A∪B中任取一個元素x，那麼x至少在A或B中的一個裡面。如果x在A裡面，那麼因為A是開集，根據開集的定義，我們就可以找到一個以x為中心的小區間(x-δ，x δ)，使得它完全包含在A裡面，A肯定完全包含在A∪B裡面，所以(x-δ，x δ)一定完全包含在A∪B裡面。同樣道理，如果x在B裡面，我們也可以類似證明。所以對于你任意取的一個x，一定可以找到以x為中心的小區間完全包含在A∪B裡面，于是A∪B就是一個開集。

開集和閉集是拓撲學中最基本的兩個概念，他們在一般的拓撲空間中有着更抽象的定義，但是本文涉及不到。本文介紹的隻是在一維實數軸上所對應的開集與閉集的定義，用它我們就可以來證明零點定理了。

我們把問題再具體叙述一下。

f(x)在[a，b]上連續，且f(a)<0，f(b)>0，求證在該區間内必存在一點使得f(x)=0

證明：我們把閉區間[a，b]中所有的數分為三個集合，分别用A，B，C表示：

A = { x∈[a，b] | f(x)<0 }

B = { x∈[a，b] | f(x)>0 }

C = { x∈[a，b] | f(x)=0 }

一個數無非小于0，大于0，等于0三種情況，于是 A∪B∪C = [a，b]。

我們來證明C一定不是空集。這樣一來C中至少包含一個元素，這些元素就是f(x)=0的點。

采用反證法：假設C是空集。

于是就隻剩下A和B，即 A∪B =[a，b]。

對于集合A，随便選一個點c∈A，則有f(c)>0，因為函數連續，則

現在已知f(c)>0，因此利用函數極限的保号性，存在某個小區間(c-δ，c δ)，使得x∈(c-δ，c δ)時有f(x)>0，也就是這個小區間内所有的數都在滿足集合A的條件，也就是說它都在A裡面，即(c-δ，c δ)⊂A，那麼根據上面開題的定義，因為這個c是任意選的，所以A一定是一個開集。

同理，利用極限的保号性可以證明集合B也一定是一個開集。

按照我們前面講過的定理：兩個開集的并集也是開集，于是A∪B 也是開集，又因為我們前面按照假設A∪B =[a，b]，因此[a，b]也是開集。

但我們前面經過論證，有界閉區間一定不是開集，于是得到矛盾，假設不成立，即C不是空集。

于是C中包含的數就是使f(x)=0的數，證畢。

用這種方法來證明零點定理，過程相對比較簡單，但是理解起來相對困難，因為它使用了拓撲學中開集這個概念。而開集又是依賴于開區間的，這道題的關鍵是利用極限的保号性構造出一個小的開區間，把這塊兒理解了，那麼整個過程也就不難理解了。

零點定理在證明方程解的存在性等問題中有着決定性的作用，同時還可以利用它進行方程的求解，比如說二分法，就是利用的零點定理來數值求解方程。

當然，證明零點定理不是隻有這一種方法，即使是在拓撲學的框架内，相信也有很多同學能想出其他的方法來。如果有同學有新的方法，可以在評論中提出，歡迎熱愛數學的小夥伴們一起來加入讨論！