【考試要求】

1.結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義；

2.結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義.

【知識梳理】

1.函數的奇偶性

奇偶性

定義

圖象特點

偶函數

如果對于函數f(x)的定義域内任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那麼函數f(x)是偶函數

關于y軸對稱

奇函數

如果對于函數f(x)的定義域内任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那麼函數f(x)是奇函數

關于原點對稱

2.函數的周期性

(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域内的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那麼就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

【規律方法】　判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立.

【規律方法】

1.根據函數的周期性和奇偶性求給定區間上的函數值或解析式時，應根據周期性或奇偶性，由待求區間轉化到已知區間.

2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數，且a≠0)，則2a為函數f(x)的一個周期.第(1)題法二是利用周期性構造一個特殊函數，優化了解題過程.

【規律方法】　1.函數單調性與奇偶性結合.注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性.

2.本題充分利用偶函數的性質f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨論，簡化了解題過程.

角度2　函數的奇偶性與周期性

【反思與感悟】

1.判斷函數的奇偶性，首先應該判斷函數定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件.

2.利用函數奇偶性可以解決以下問題：

(1)求函數值；(2)求解析式；(3)求函數解析式中參數的值；(4)畫函數圖象，确定函數單調性.

3.在解決具體問題時，要注意結論“若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期”的應用.

【易錯防範】

1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函數的充分條件，也不是必要條件.

2.函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.

【核心素養提升】

【數學運算】——活用函數性質中“三個二級”結論

類型1　奇函數的最值性質

類型2　抽象函數的周期性

類型3　抽象函數的對稱性