初中幾何定值為常數4例

平面幾何中的定值問題，是指當點或線按照某種條件運動時，圖形發生位置、形狀或大小的變化，圖中的某些幾何元素的幾何量仍保持不變的情況。下面顯示幾例幾何定值為常數的例子。

題目1：如圖1，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧上任意一點，求證（PA PC）／PB為定值。

解題思路：見圖2，延長PC至E，使PA = EC，連接BE、AC。

方法①：因為 PA = EC，AB = BC，∠PAB = 90° α =∠ECB，故△PAB≌△ ECB。

PB = BE，∠PBE =∠P BC θ= 90°，R t△ PBE為等腰直角三角形。

PE ／PB =√ 2 = （PC EC）／PB = （PA PC）／PB。

方法②：在圓内接四邊形ABCP中，應用托勒密定理證明相對簡單。

題目2：圖1，三角形ABC是等邊三角形，P是三角形ABC内任意一點，作三角形三邊的垂線

PD、PE、PF， 點D、E、F是垂足。證明：（PD PE PF) ／（AB AC BC) =√3／6。

解題思路：①圖2，首先證明等邊三角形内任意一點P到三邊距離和等于一邊上的高，分别連接PA、PB、PC，并作BC邊上的高AG。

通過面積法可以證明AG = PD PE PF。

因為Rt三角形ABG中，∠BAG = 30°，

AG ／BG =√3 =AG／（1/2 BC）。

BC = 1／3 (AB AC BC)。

AG／（1/2 BC）=（PD PE PF）／（1/2 BC）=√3，

（PD PE PF) ／（AB AC BC) =√3／6。

②根據等邊三角形的面積=√3／4 AB²，又等于P點與三個頂點相連形成三個三角形的面積和亦可證明。

題目3：如圖1，點0是正三角形ABC内一點，G是三角形ABC的重心，直線 0G與三角形ABC或其延長線分别相交于點A'、B'、 C'，求證：A' O ／ A' G B' 0 ／ B' G C' 0 / C ' G = 3。

解題思路：先熟悉等邊三角形有幾個性質：等邊三角形重心、内心 、外心、垂心四心合一；等邊三角形内任意一點P到三邊距離和等于一邊上的高；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2/1。

圖2中，設正三角形的高為H，分别過O點和G點作垂線OK₁、OK₂、OK₃和GH₁、GH₂、GH₃。則有：

OK₁ OK₂ OK₃=H，GH₁=GH₂=GH₃=1/3 H。

圖中有三組相似三角形，根據相似比顯示如下：

A' O／A' G B' 0／B' G C' 0 / C 'G

= OK₁/ GH₁ OK₂/ GH₂ OK₃/ GH₃

=( OK ₁ OK₂ OK₃)/ (1/3 H)

= H /( 1/3 H)

=3。

題目4：證明梅涅勞斯定理（梅氏定理）：圖1，當一條直線交三角形ABC三邊所在的直線BC、AC、AB分别于點D、E、F時，則有AF ／FB · BD ／DC · CE ／ EA = 1。

解題思路：見圖2，過A點作FD的平行線交BD延長線于G，則

AF ／FB = GD ／DB，

CE ／EA = CD ／DG，

所以AF ／FB · BD ／DC · CE ／EA

= GD ／DB · BD ／DC · CD ／DG = 1。

相同的方法見圖3，作CM∥FD或者CN∥AB亦可證明結論成立。