高等代數與數學分析題-tft每日頭條

試題部分的LaTeX源碼在一個多月前就由一個同學幫我弄好了，但是我當時的計劃是先把數學分析的解答全寫掉再弄高等代數與解析幾何的解答，沒想到一放卻放了這麼久，直到今天才能把這份試題的解答寫出來。這份試題與2006年的那份高等代數差不多，有不少題也是能在丘爺爺書上找到的，不過有一點點新的東西，第7題應該算是藍以中老師的題目，我寫的兩個解答都用了他的《高等代數簡明教程》上的定理，而在我的記憶中這兩個定理似乎沒有在丘爺爺的書上以定理的形式出現。

高等代數與數學分析題（北京大學2008年高等代數與解析幾何試題及解答）1

高等代數與數學分析題（北京大學2008年高等代數與解析幾何試題及解答）2

高等代數與數學分析題（北京大學2008年高等代數與解析幾何試題及解答）3

高等代數與數學分析題（北京大學2008年高等代數與解析幾何試題及解答）4

高等代數與數學分析題（北京大學2008年高等代數與解析幾何試題及解答）5

第一題是線性方程組的東西，沒有什麼特别好說的。呃，這個第二題第一問我用了線性方程組的解空間來做的，第二問要用到矩陣的伴随矩陣。第三題是相當經典的題目，在高等代數教材上正定矩陣部分基本上都能找到與此相關的題目。在第四題的解答中我用了初等數論的一點點知識，在2012年的那份解答中也用到初等數論的知識。第五題用Jordan标準型就直接得到結果，當然由于這裡的結論沒有Jordan标準型那麼深刻，隻用數學歸納法也能做出來，丘爺爺的書上有一個對矩陣的階數做歸納的證明，藍以中老師的書上是對線性空間的維數做歸納的證明。

第7題的充分性是顯然的，必要性比較麻煩，我給的那兩個解答都借用了藍以中老師書上的定理，而那兩個定理本身不是那麼好證明的，我不知道是否有不用過于複雜的定理來證明這題的方法。另外說一點，藍以中老師書上的定理2.1比較重要，用這個定理能解決不少關于正交矩陣的題目。藍以中老師書上證明定理2.1的方法也可以拿來證明北京大學2019年的高等代數第二題。

第八題比較簡單，利用過直線的平面束方程就行。第九題是關于直紋面的，解題方法不難想，隻是有些難算，我基本上把每一步怎麼算的也提了一下。這裡是關于單葉雙曲面的，後來2009年與2016年的解析幾何考到了關于雙曲抛物面的情形。第十題隻是個簡單的計算題。第11題也不難，隻要想到平面與直線相交所得那個點就是圓心，剩下的就隻是簡單的計算。