本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

生活中的“家常便飯”——數的表示方法

作者 : 林華展

作品編号：057

暑假裡，我饒有興緻地看着一本書，而這本書，便是日本作家遠山啟寫的——《數學女王的邀請 : 初等數論入門》。而其中的第三章——數的表示方法，令我記憶深刻。

其實，早在五千多年前，世界就誕生了第一個文明——華夏文明。而人民最早的記事、記數方式，便是“結繩記事”（如圖1）。這是古人擺脫時空限制記錄事實、進行傳播的一種手段之一，它發生在語言産生以後、文字出現之前的漫長年代裡。而雖然這提供了記憶方法，但當時的單位并不怎麼統一（如圖2），導緻了一些重要信息的錯誤記載。幸好，公元三世紀，一位古印度的科學家發明了數字。那為什麼叫“阿拉伯”數字呢？其實在兩百年後，團結在伊斯蘭教下的阿拉伯人征服了周圍的民族，建立了東起印度，西從非洲到西班牙的阿拉伯帝國。

後來，這個伊斯蘭大帝國分裂成東、西兩個國家。由于這兩個國家的各代君王都獎勵文化和藝術，所以兩國的首都都非常繁榮，而其中特别繁華的是東都--巴格達，西來的希臘文化，東來的印度文化都彙集到這裡來了。阿拉伯人将兩種文化理解消化，從而創造了獨特的——阿拉伯文化。

大約700年前後，阿拉伯人征服了旁遮普地區，他們吃驚地發現:被征服地區的數學比他們先進。于是設法吸收這些數字。正由于數字從阿拉伯興盛并且阿拉伯人對數學研究的确作出了很多的曆史貢獻，便叫“阿拉伯數字”。

而在這以前的歐洲人民，隻會用身體部位計數，非常麻煩。有沒有什麼更便利的計數方式呢？于是，“十進制”就随之誕生。

所謂“十進制”，是指一種“每數到十個，就捆成一捆”的計數方法，如果将一個小立方體看做“1”，那麼表示出來将會這樣（如圖4）。

這時不難發現一個點：自然數是無窮無盡的。無論一個自然數有多大，隻要我們耐心地不斷累加1，最終一定能得到它（如圖5）.

正如古人所說：“千裡之行，始于足下。”如果想一目了然地觀察自然數，我們可以嘗試把它們排列到一條間隔均為1 的射線上。(如圖6)所示，射線的左端為1，向右則是無限延伸的。

這就是我們目前在用的數的名稱體系，不過它也存在缺陷。這迫使我們在數增長十倍時創造出對應的計數單位。這樣計算起來很麻煩，比如我們無法快速計算出“七百八十六”加“二百五十五”的結果。有沒有什麼方法克服用漢字表示的缺陷呢？這時，阿拉伯數字登場了。

阿拉伯數字的一大特征就是使用了。所謂“位值原理”,是指:仔細調查用“每數到十個，就捆成一捆”的形式表示的各個計數單位的個數，并按照從高到低的計數單位順序寫個數（相信大家能立馬理解），（如圖7）一個數可以用好幾種方式表達：而怎樣用一個通用公式表示出這種形式呢？可以将341寫成：的形式，那麼一個任意n位數就可以寫成

但現在來說，還有許多種進制，最常用的有二進制、八進制和十六進制，若設進制數為z，那麼z進制的數為“逢z進一”。如果z>10，那麼以z=16為例，各個數代表字符：

這不是生活中常用的方法，卻在科學、軍事、醫學上發揮着重要的作用。但怎麼互相轉換呢？其實十進制轉z進制可以用“除z取餘，逆序排列”方法。這樣的方法在一開始令我震驚，但現在漸漸理解了，其實也不難，隻要這樣計算就可以了（如圖8）：

而十進制轉z進制則更為簡單，用的是“按權相加法”（如圖9）,隻要把各位數拆後處理再相加即可。

二進制是個巧妙的計算方法。為什麼呢？這時候，乘法可不用再背乘法表了。例如計算13*19,而且19=24 2 1，13*19=13*(24 2 1)=13*16 13*4 13*1=208 26 13=247,所以13*19=247。是不是很巧妙啊？

生活中像非十進制類計算的地方還有很多：電子電路采用二進制是最方便的，因此二進制得到了普遍地運用。由于采用二進制會使數字位數變得很長，而十六進制和八進制與二進制之間的互換十分方便，因此程序員經常使用十六進制和八進制，但當前的計算機系統使用的基本上是二進制系統，還有很多例子：三進制：一季度有三個月 四進制：一年有四季度 七進制：一周有七天 九進制：冬天交九，一個交九為九天 十二進制：一年有十二個月；生肖為十二年一輪回......

總而言之，萬物都離不開數，而從數裡延伸出的進制，則優點更加明顯，為人們提供了便利，讓人們從中受益。數學之美令人折服，期待它帶給我們美好的未來!

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