老黃這回要分享一個含有反三角函數的奇函數方程，如何用牛頓切線法來求解。牛頓切線法在“老黃學高數”系列視頻第211講中有詳細介紹。具體步驟分成三步：(1)确定根的大概位置；(2)用點列{xn}逼近方程的根；(3)檢驗近似根的絕對誤差。實際操作中，會有所調整。

求方程x-2arctanx=0的根的近似值，精确到0.001.

分析：為了解題過程中描述的方便，我們會記函數f(x)=x-2arctanx. 并發現這是一個連續的奇函數。連續的奇函數，一定經過原點，即f(0)=0. 說明x=0是原方程的一個根。另外奇函數的性質決定了，方程要麼不再有其它的根，如果有，就必然還有偶數個根(除了0以外)。而且它們是以互為相反數的形式成對出現的。我們隻需求得正區間或負區間的所有根，就可以得到另一半區間的所有根，從而得到整個方程的所有實數根。

為了确定根的大概位置，以及為求點列{xn}做準備，一般會先求f(x)的一階導數和二階導數。

由f'(x)=(x^2-1)/(1 x^2)可知，函數有兩個穩定點x=1和x=-1。

由f"(x)=4x/(1 x^2)^2可知，f"(1)>0, f"(-1)<0. 即x=-1是函數的極大值點，x=1是函數的極小值點。這裡極大值f(-1)>0，極小值f(1)<0，說明在開區間(-1,1)上，有方程的一個根，不過這個根我們已經确定了，它就是x=0.

又當x趨于負無窮大時，f(x)小于0，當x趨于正無窮大時，f(x)大于0. 具體求極限的過程，這裡就省略了。

這就可以知道，方程有三個根，分别記為ξ1<0<ξ2. 大小關系也給它們确定了，指定ξ1是負根，ξ2是正根，它們是互為相反數。隻要求出一個，另一個自然就确定了。下面選擇求正根。

因為f(2)=2-2arctan2≈-0.214<0, f(3)=3-2arctan3≈0.502>0, 所以ξ2在開區間(2,3). 這裡還是要用計算器求反正确函數的。不要說“那不如直接用計算器求方程的根”，除非你真的能做到。

做一個小結：牛頓切線法第一步，确定根的大概位置的一般步驟是：求函數的一階導和二階導；用一階導确定穩定點；用二階導确定極值點；根據極值，以及函數趨于無窮大的符号性質，确定根的數量；檢驗根附近的點的函數符号性質；确定根的大概位置。

然後開始第二步，先明确根所在區間的單調性和凸性。顯然，這個函數在(2,3)上，一階導數大于0，是單調遞增的，二階導數也大于0，是下凸的。它屬于牛頓切線法求點列的第二種情形，如下圖：(注意，這個圖像并不是f(x)圖像的一部分)

這種情形下，要從右邊開始找點。即從點(3,0.502)開始作曲線的切線與x軸相交于點x1，求得x1約等于2.373. 第一個點通常都不會滿足精确度要求的。

就繼續從點x作切線與x軸相交于點x2，求得x2約等于2.331. 一般情況下，這個點就可能滿足精确度要求了。這時候，你有兩種選擇。

按老黃提供的方法，是重複上面的步驟，繼續找點x3，求得x3約等于2.331.很明顯的，2.331就是方程精确到0.001的近似根。

按牛頓切線法的一般步驟，則是要進行第三步，檢驗x2，或者x3的誤差是否滿足精确度要求了。就是求導數f'(x)在[2,3]上的最小值，結果約為0.6. 然後用x2的函數值的絕對值除以這個最小值，得到的結果約等于0.00013，遠遠小于0.001，說明x2的誤差符合精确度要求。所以2.331是方程精确到0.001的近似根。

兩種方法，你更喜歡哪種，就用哪種吧。老黃自然更愛用自己的方法了。但你應該會更相信牛頓切線法的權威吧。

寫到這裡，老黃突然發現自己的方法不準确的地方。老黃決定以後要放棄這種方法。老黃之所以不在這篇文章就放棄。是想告訴大家，數學探究出糗很正常。有錯誤，才會有真理。至于老黃的方法為什麼不嚴謹，因為可能出現x1和x2之間的差非常小，于x2和x3之間的差卻變大的情況。

最後由奇函數的性質，就可以知道方程的另一個約等于-2.331.

函數f(x)的圖像如下圖。

最後以圖片的形式，展示全題的解題過程如下：

多找幾道題來練一練，你肯定會喜歡上這種求方程近似根的方法的。