#頭條創作挑戰賽#

老黃探究高等數學，一直要用到這幾個概念，數集、點集、數列、和點列，感覺有點亂。因此，老黃要明确一下這四個概念的區别和聯系，才會使高數的内容更加清晰。老黃在網上并沒有找到這四個概念比較系統的介紹，甚至各家都有各家的說法，并不統一，老黃對此進行了整理，其中也難免有老黃自己一家之言，老黃和大家一樣，都要學會批判接受哦。

數集，簡言之，就是數的集合，它是集合的一種，因此繼承了集合的一切性質。具體指的是具有某種特定性質的具體的或抽象的數彙總成的集體。包含有限數集和無限數集，有界數集和無界數集。

具體的數集比如一切複數構成的集合稱為複數集，還有虛數集、實數集，這是複數集的兩個子集；正實數集，負實數集，非正實數集(就是負實數集和0的集合)，非負實數集(則是正實數集和0的集合)；無理數集和有理數集，構成實數集；分數集和整數集，構成有理數集；正整數集、自然數集，還有以2的正整數幂數集等。

以上這些都是無限且無界的數集。而由一個數字構成的集合，也是一個數集，它是有限且有界的數集。{1}也可以稱為複數集，實數集，正實數集，自然數集等，這裡指的是元素的性質。另外，空集也是一個數集。

數集具有如下的性質：

1、它的元素是确定的。要麼屬于這個數集，要麼不屬于這個數集，不存在既屬于也不屬于，或者有時屬于有時不屬于的情況。對于這點，老黃最近覺得有點值得懷疑，老黃更願意相信，宏觀上是有确定性的，但微觀上，卻是不确定的。比如一個半徑無限小的鄰域上的所有數所構成的數集，你就無法确定某些數，是否包含于這個數集。但由于權威說有确定性，所以老黃這裡就保持有确定性的标志。

2、元素有互異性，不存在重複的元素，這點倒是勿庸置疑的。

3、元素之間并沒有排序，所以有無序性。交換元素的位置，不改變集合的實質，比如{1,2}1和{2,1}是同一個數集。

點集，簡言之，就是點的集合，也是集合的一種，同樣有集合的一切性質。另外，點集其實還包含各種維度的點形成的集合，在沒有特别指明的時候，默認點集為一維點集，就是實數軸上的點構成的集合。同樣的，點集也有有限點集和無限點集之分，如果說它是有界的或是無界的，其實就與數集混為一談了，但這種混為一談是允許的。因為實數和數軸上的點是一一對應的。

另外，平面直角坐标系上的二維點集則與實數對一一對應；複平面上的二維點集就和複數對一一對應；極坐标平面上的二維點集和極坐标一一對應等。包括空間坐标系上的三維點集和三維坐标，也是一一對應的。如果你喜歡的話，還可以把不同維度的點混在一起研究，數學探究，應該鼓勵放飛思維的翅膀。

點集的性質和數集的性質非常接近，包括位置的确定性，同樣的，對微觀的數學世界，老黃抱懷疑态度；坐标有互異性，相同的坐标表示同一個點；還有點的無序性。

數列，是以正整數為定義域的函數，它是一列有序的數。可以把數列看作是數集的元素按一定的順序排列形成的，而且這些元素是可重複的。

比如複數列，因為複數并沒有統一的比較大小的标準，所以這裡隻表示數列的性質，它是由一系列的複數按一定的順序排列形成的。實數列，正實數列，負實數列，包括有理數列，分數列等，這些會存在一定的争論，但老黃覺得，它們有比較大小的統一标準，所以是可以自然形成數列的形式。整數列，正整數列，自然數列，由同一個常數組成的常數列等，這些就比較常見。這些數列的名稱，也可以用來表示數列中各項的數的性質。

還有與各項間關系有關的等差數列，等比數列，以及一些特定的數列，如正方形數列就是完全平方數數列；立方體數列就是完全立方數數列；以及以人名命名的，斐波那契數列又稱黃金分割數列，卡特蘭數列等。包括所有數學家都渴望破解的質數列。以及一切可以用通項的形式表示的數列等。

但需要注意的是，不是所有數列都可以用通項公式的形式表示的。除了數字排列雜亂無章的數列，還有象實數列這種，雖然從小到大排列，卻無法用通項表示的數列，隻能用一個字母R來表示。

另外，數列也包含有限數列和無限數列，在沒有特别指明的，且不緻造成誤會的情況下，通常說的“數列”指的是無限數列。另外也有有界數列和無界數列之分。而且它還可能有單調性，交錯性等特性。

在與數集的對比一下。數列的項在宏觀上是确定的，但在微觀上是不确定的。比如，在實數列中，你無法确定第1項是什麼，第n項是什麼，就算是自然數列，你也無法确定在n趨于無窮大時，這個項是什麼。這是老黃的說法，你也可以認為，它的項是确定的。這隻是理解的問題。和數集最關鍵的不同是，數列是沒有互異性的，它可以有重複的項，最典型的是常數列，所有的項都是一樣的。而且數列的項是有序，而數集的元素是無序的。改變數列的任何項的位置，都會改變數列的實質，得到一個新的數列。

最後是點列，可以認為，點列是點集的元素按一定的順序排列而成的，而且點列的點也是可重複的。對應的，也有一維點列，二維點列和三維點列等，默認情況下，指的是一維點列。

一維點列的所有點分布在數軸上，數軸就是點列的底，點列同樣有無限點列和有限點列之分。

宏觀的點，你可以确定，但微觀的點，你是确定不了的。和數列一樣，它的點是可重複的，甚至可以由無限相同的點構成一個點列。有些人說，點列的點不可重複，但可重複的點列，更方便高數的探究。另外，點列也是有序的。任意點的位置，發生改變，點列的實質都會随之發生改變。聽起來怪怪的，不過的确是可以理解的，即點列的順序與這些點所表示的數在數軸上的順序，不一定相同。之所以會覺得有點難理解，是因為大家關注的更多的是x軸上的點，如果是y軸上的點，即函數表示的點列，其順序與這些點所給示的數在數軸上順序不同，就很好理解了。

在這四個概念的基礎上，我們來看它們的映射關系，這樣它們的規律對比的整齊會更好。

數集和點集是一一對應的映射關系；

數集和數列是一對多的映射關系。因為重複數集的任意元素，或者改變任何元素的位置，都會得到不同的數列；

點集和點列也是一對多的映射關系，理由同上；

最後數列和點列也有一一對應的映射關系。假如點列的點不能重複，那麼數列和點列就會形成多對一的映射關系，從而造成四者的關系變得更加複雜。

回到實數的完備性的知識。我們定義，在一個數a的任一鄰域内都含有數列或者點列{xn}的無限多個項或點，就稱a是列數或點列{xn}的一個聚點。

與數集或點集的聚點在定義上的區别主要是，點列或數列的聚點鄰域上可以包含無限個相同的項，或點，而點集或數集的聚點鄰域中，隻能包含無限個不同的元素。老黃這整講的内容，就完了解釋最後這句話服務的。想像一下，如果老黃不花這麼多時間去厘清四者的關系，最後這個數列(點列)聚點的定義，将變得特别難理解。你覺得呢！