二次函數中的定值問題思路探索

随着抛物線上某動點的運動，由它帶動的一些量中，有變量自然也有常量，其中的常量，就是經常被考查的定值。尋找變化中的不變量，這原本也是初中函數運用的一個重點内容，通常解法思路是将所要探索的量用字母表示出來，然後尋找等量關系，在恒等變換中消掉多餘字母，最終隻剩下常數。當然這是思維定勢，并不代表所有定值類問題都能由此突破，但作為嘗試是可以的，即使失敗，從中汲取教訓，為下一次成功打下基礎。

題目

經過(1,0)和(2,3)兩點的抛物線y=ax² c交x軸于A、B兩點，P是抛物線上一動點，平行于x軸的直線l經過點(0,-2).

(1)求抛物線的解析式；

(2)如圖1，y軸上有點C(0,-3/4)，連接PC，設點P到直線l的距離為d，PC=t，某同學在探究d-t的值的過程中，思考：當P是抛物線的頂點時，計算d-t的值為___________；當P不是抛物線的頂點時，猜想d-t是一個定值，請你直接寫出這個定值，并證明；

(3)如圖2，點P在第二象限，分别連接PA、PB，并延長交直線l于M、N兩點，若M、N兩點的橫坐标分别為m，n，試證明mn也是一個常數.

解析：

(1)常規二次函數題的“啟手式”，作為基本功，一定要迅速解決問題，将兩個點坐标代入解析式中，求出參數a和c，結果是y=x²-1；

(2)當點P是頂點時，它的坐标為(0,-1)，此時d=1，t=1/4，于是d-t=3/4；

當點P不是頂點時，不妨設出它的坐标為(p,p²-1)，于是可以表示出d=t²-1-(-2)=p² 1，而PC可利用兩點間距離公式求，推導如下：

再來計算d-t=3/4，與P是頂點時完全相同；

(3)從圖中我們可以發現，MN與x軸平行，本着"有平行必有相似"的原則，我們可以構造出不同的相似三角形，從而将點M和N的橫坐标分别納入比例式中，因此過點P作l的垂直，分别與x軸，直線l相交于點G、H，如下圖：

我們利用兩次相似，△PAG∽△PMH，△PBG∽△PNH，分别得到兩組比例式，PG:PH=AG:HM，PG:PH=BG:NH，推導如下：

解題反思

本題推導過程較多，對學生的代數恒等變換提出了一定要求，面對一堆參數和代數式，首先要敢于下手，其次目标要明确，不能如無頭蒼蠅一樣亂碰，始終一根主線，即常規思路。

尤其是遇到根号下一堆代數式的情況，多半根号下的式子是可以化為完全平方的，探索時可大膽前進，而在遇到化簡出來的結果“相似”時，注意它們之間的聯系，不難求出最後的定值。

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