例題：

分母是1001的最簡真分數有多少個?

參考答案1：

1001=7×11×13

分子是7的倍數的有11×13=143個，

分子是11的倍數的有7×13=91個，

分子是13的倍數的有7×11=77個，

分子是7×11的倍數的有13個，

分子是7×13的倍數的有11個，

分子是11×13的倍數的有7個，

分子是7×11×13的倍數的有1個。

所以一共有1001-143-91-77 13 11 7-1=720(個)

參考答案2：

1001=7×11×13

分子是7的倍數的個數占1001的1/7，分子不是7的倍數的個數占6/7，同理分子不是11的倍數的個數占10/11，分子不是13的倍數的個數占12/13，所以分母是1001的最簡真分數的個數是1001×(1-1/7)×(1-1/11)×(1-1/13)=720個。

參考答案3：

因為1001=7×11×13，所以，分子是7,11,13,77,91,143的倍數的數應減去。

1000÷7=142（個）……6

1000÷11=90（個）……10

1000÷13=76（個）……12

1000÷77=12（個）……76

1000÷91=10（個）……90

1000÷143=6（個）……142

分别是7,11,13,77,91,143的倍數的數一共有142＋90＋76＋12＋10＋6=336（個）。

又因為143的倍數有6個，既是143的倍數，又是11和13的倍數，這樣，就多算了6×2=12（個）數；

91的倍數有10個，既是91的倍數，又是7和13的倍數，這樣，就多算了10×2=20（個）數；

77的倍數有12個，既是77的倍數，又是7和11的倍數，這樣，就多算了12×2=24（個）數。共多算了12＋20＋24=56（個）數。

故知，分母是1001的最簡真分數有1000－（336－56）=720（個）。

參考答案4：

求分母是1001的最簡真分數實質是求小于1001的與1001互質的正整數，故可解得有720個。

方法如下：

1.考慮歐拉函數。因為1001=7×11×13，故由歐拉函數的可乘性可得φ(1001)=φ(7)×φ(11)×φ(13)=6×10×12=720.

2. 應用容斥原理。

1000-(11*13-1 13*7-1 7*11-1) (13-1 7-1 11-1)=720.

3.

1001×(6/7)×(10/11)×(12/13)=6×10×12=720個，計算過程實質等同于證明歐拉函數的可乘性，見附圖.