今天小侯七老師給大家發幹貨了！函數的性質以及極限的定義送給大家！

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廢話不多說，跟着小侯七老師的腳步一起來看看吧！

知識就是力量

一：專題總結：函數的性質

l 奇偶性 區間關于原點對稱

a) 若f（x）可導，f（x）為奇函數則f’（x）為偶函數

f（x）為偶函數則f’（x）為奇函數

b) 偶＋奇＝非奇非偶

c) 求方程的根的個數利用奇偶對稱性

例題

d) 定積分計算時的簡化計算

例題

e) 圖像應用

f ) f（x）是連續的奇函數，所有原函數都是偶函數

f（x）是連續的偶函數，c＝0時 所有原函數都是奇函數

l 周期性

a) 若f（x）是可導的以T為周期的周期函數，則f’（x）也是以T為周期的周期函數

b) 可積f（x）以T為周期則F(x)＝以T為周期的充要條件=0

c) f（x）全體原函數周期為T等價于=0

l 單調性

a) 單調有界準則求數列極限

b) 研究函數性态

c) 求方程唯一零點

例題

l 有界性 在定義域上談

a) 有界性M不一定是極限值，｜sinx｜小于等于a也可

b) 充要條件是要有上界與下界

c) 無窮小一定有界

d) 無窮大一定無界，無界量不一定無窮大

e) f’（x）在有限區間上有界則f（x）在區間上有界

考研

l 專題1:極限的定義

1函數極限的定義

定義

2.數列的極限證明：

目标：1.會寫定義（仿照函數極限）

2.會做遞推不等式用單調有界證明極限存在

例題

極限的三大性質

l 專題2:三大性質證明整理

a) 唯一性：反證法

假設f（x）在x趨于無窮時 有兩個極限A，B，且A>B取ε=(A-B)/2，存在N1，當n>N1時，有 | f（x）-A|<(A-B)/2 (1)存在N2，當n>N2時，有 | f（x）-B|<(A-B)/2 (2)取N=max{N1，N2}，則當n>N時，上面兩式同時成立(1)可化為：(B-A)/2< f（x）-A<(A-B)/2，可得 (B A)/2< f（x）<(A-B)/2 A(2)可化為：(B-A)/2< f（x）-B<(A-B)/2，可得 (B-A)/2 B< f（x）<(A B)/2出現矛盾，一個式子是f（x）>(A B)/2，另一個是f（x）<(A B)/2所以假設不成立，極限唯一

b) 局部保号性：證明函數極限大于0時，在x趨于x0，f(x)大于零。對任意的ε>0,在x趨于x0，存在δ>0, 滿足 |f(x)-A|<ε, 即有 A-ε<f(x)<A ε. 當取 ε=A/2，則上式變為 A/2<f(x) < 3A/2,在（x0-δ,x0 δ）上成立。 即找到一個區間上，f(x)大于零。

c) 局部有界性

例題

l 專題3:讨論函數在區間上有界性方法：

（1） 若區間為［a，b］那麼根據“連續函數在［a，b］上必有界”直接可得

（2） 若區間為（a，b）那麼：

（a） x趨向a＋ 函數極限存在

（b）x趨向b－ 函數極限存在

（c）函數在（a，b）内連續那麼在［a，b］連續從而由 （1）得 出［a，b］有界

好了，今天小侯七老師的分享就分享到這裡了，下次小侯七老師将會總結更多的知識點，也歡迎大家積極轉發評論哦。

小侯七老師

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