這是在百度上看到的幾何題。本以為比較簡單，做起來卻花了一番功夫。題目如下。
幾何題
首先審題：頂角135°表明外角是45°，延長AC到E，使BE⊥AE，則三角形BCE是等腰直角三角形，利用勾股定理和相似三角形相似比可以列出方程算出CD。
作輔助線
設CE=BE=x，AC=y。CD²=y²-10²。
由勾股定理得：BC²=CD² BD²=x² x²，即
y²-10² 3²=2x²，2x²=y²-91。①
在對△ABE用勾股定理得：
(x² y²) x²=13²=169，
2x² y² 2xy=169。②
①代入②得：2y² 2xy=260，
y² xy=130，x=(130-y²)/y。③
③式也可以用相似比得到。
③代入①得：2(130-y²)²/y²=y²-91，化簡得
y⁴-429y² 33800=0，解得y²=104。
CD²=y²-10²=104-100=4，CD=2。
這個方程數據比較大，計算要花點時間。
高中生用三角函數可以很快算出。
設∠CBA=α，則∠A=45°-α。
3tanα=10tan(45°-α)
=10(1-tanα)/(1 tanα)，
3tan²α 13tanα-10=0，
解得tanα=2/3。
CD=BDtanα=3×2/3=2。
再來看老師的解答。
老師的解答先用帶x的式子表示BC，再把CD用帶x的式子表示，AH也用帶x的式子表示，然後用相似比求出x，進而求出CD。很好的解法，比我的解法要簡單很多。
老師的解答
總結一下：這道幾何題有點難度，主要考察學生是否能夠根據已知條件作出合适的輔助線，以及用勾股定理和相似三角形相似比解題的能力。
這裡是輕松簡單學數學，分析各種解法，學習數學知識。
後續：網友們在評論區提供了很好的解法，初中學生可以去學習一下，拓寬自己的解題思路。
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