本文作者劉瑞祥，[遇見]這裡要特别感激劉老師投稿支持！

這個數字系列，我最開始寫六和七的時候隻是偶發奇想，後來才想着寫寫數字五，再接下來就寫了四和八、三、一和二。其中關于三和五的都是單獨成篇，并專門寫了三角形和正五邊兩篇文章。既然已經寫了這麼多，如果不寫一下九和十好像不完整似的，那麼就讓我繼續努力一下吧。

數字 9 和 3 的共同點是，在十進制中，一個能被 9 或 3 整除的數，各位上的數字和一定也能夠被 9 或 3 整除，反之亦然。證明這一點應該不難吧，不過我以前還真在某教育論壇上看見小學老師問這個問題的。我要順便嘚瑟一下的是，想當年我初中的時候可是自己發現一個數能夠被 17 整除的其點的——将一個數最後一位劃掉，剩餘部分減去劃掉部分的五倍，如果結果能被 17 整除，則原數能被 17 整除。

數字 9、3 和 7 還有一個共同點——它們的 1-9 倍最後一位都不同。這個規律可以運用到相當一類的數學遊戲當中，即給你一個用不同字母表示數字的乘除法算式，讓你猜測各字母分别代表什麼數字。另外數獨、三階幻方等遊戲也都和九有關。

▲ 求解ABCDE各數值為多少？（答案不唯一）

一個經常出現在數學科普文章裡的問題是為什麼 0.999…=1，這個話題既能從初等數學來論證，也能從高等數學方面論證，還能從數論的角度來看。那麼對一個已知循環節的小數，你能化成分數嗎？如果十進制的你會了，别的進制呢？

在邊數少于十的正多邊形中，正九邊形和正七邊形是“唯二”的不能尺規作圖的正多邊形。但是正九邊形比正七邊形應該簡單點，因為可以方便的用半圓儀畫出圓心角。如果你用折紙制作正九邊形的話，也應該比正七邊形容易想到思路。

數字十對于我們很重要，因為我們日常用的就是十進制，所謂的科學計數法、國際單位制等等都與之有關。順便說一句，你知道當今世界哪個主要大國單位制最混亂嗎？答案是美國，因為隻有美國還在沿用着連英國都已經逐漸淘汰的非十進制的英制。但是如果涉及時間或者角度，人們往往喜歡以 3 的倍數為進制，因為這樣的話三等分不會出現分數，據說這也是一部分人捍衛英制的理由。

▲ 典型手持科學計算器上的對數鍵（以10為底的log和以e為底的ln）(圖自維基)

十進制給數學帶來的另外一個影響就是常用對數，我是初中學到對數的，現在還記得 lg2=0.3010 和 lg3=0.4771。高中則接觸到了對數函數、常用對數和換底公式。我父親還用過根據對數原理制作的計算尺，當然現在是沒什麼用了，不過當年很重要，據說錢學森先生就曾經自掏腰包為中科大的學生購買過計算尺。對數的一個意義是便于我們度量那種可能相差很多倍的物理量，比如噪聲、星等、地震震級等等都和對數有關。現在講對數都直接說成是指數逆運算，而曆史上則是先發明對數再發現它和指數關系的。數學史和數學本身的邏輯畢竟不同，這一點的另一個例子是微積分的人發明順序是積分-求導-極限定義。不談這個了，隻問你一句，你會證明 lg2 是無理數嗎？

▲ 計算尺上的遊标(圖自維基)

雖然人類用十進制很方便，但計算機就隻能是二進制。而這個差異，再加上計算機字長和存儲器總是有限的，導緻計算機的浮點運算很容易産生誤差，比如我當年在 286 上用 GWBASIC 語言計算 3^4 時得到的結果就是 81.00001（小數位數可能有誤，但肯定不是正好的 81），而計算 3*3*3*3 不會産生誤差。究其原因，是因為前者在計算機内部用到了自然對數和指數運算，産生浮點小數造成誤差。我不同階段的計算機老師都在苦口婆心地教育我——如果你要在程序裡判斷兩個浮點數是否相等，一定注意隻要小于一定誤差就可以了。

▲ 正十二面體和正二十面體及正投影圖形

下面再說個尺規十等分圓的方法。本來我們可以做出圓内接正五邊形之後把每段弧平分一下就可以了，但是這樣手續太煩，更簡單的是直接把圓半徑進行黃金分割，分得的大段即是該圓内接正十邊形的邊長，進一步再将畫正五邊形也很容易。最後一點，正十二面體和正二十面體雖然表面上沒有正十邊形，但如果把各個面向底部做正投影，那是很容易出現十等分圓的。