[遇見數學創作小組] 作者徐樂涵

分形(Fractal)，具有以非整數維形式充填空間的形态特征。通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀”，即具有自相似的性質。分形一詞，是曼德博創造出來的，其原意具有不規則、支離破碎等意義。1973年，本華·曼德博（Benoit Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形的設想。而我們平時吃的西蘭花就是一個天然的分形。

西蘭花作為一種蔬菜卻有“花”字，可見其顔值之高。那麼它究竟為什麼能讓大家看上去賞心悅目呢？那是因為它的表面是由一個個小的分形花簇構成的，形成了科學美。

科學美是數學美的一種。數學美以令人贊歎不已、無比快悅的美妙形式揭示自然界的内在美以及客觀事物的内在美以及客觀事物之間的各種關系，是數學中的藝術。

數學美的形式有簡明美、對比美、對稱美、序列美、節奏美、奇異美和滑稽美。數學美食自然美的數字、圖像化；是表現數學内容的形式的藝術化；是社會上第一流人格美的代表者----探索者們的勞動結晶；是自然美、藝術美、社會美中精萃的綜合和統一物。

難怪有英國數學家亨利·比林斯利發自内心的話語：“許多藝術能夠美化人們的心靈，但卻沒有哪一種藝術能比數學更有效地去美化和修飾人們的心靈。”

曼德爾布羅特最先引入分形一詞，意為破碎的，不規則的，并且建議将分形定義為整體與局部在某種意義下的對稱性的集合，或者具有某種意義下的自相似集合；也嘗試性地給出了一個定量刻畫，說分形是其豪斯道夫維數嚴格大于其拓撲結構的集合。

分形幾何學是一門以非規則幾何形态為研究對象的集合學。由于不規則（非線性）現象在自然界是普遍存在的。因此，分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立後，很快就引起了許多學科的關注，這是由于它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。

如Cantor集的初始元是長度等于1的線段。将其分3等，去掉中間一段，保留兩側的兩段作為生成元。然後将剩下的兩段重複以上步驟，以至無窮。此分形給人們的感覺是簡單的，但它卻體現出數學的簡明美。

謝爾賓斯基三角形、地毯一樣是經典的分形集。

圖形上毫無保留地展現出數學的對稱美，還可以利用矩陣和數學形态學相結合來産生這些圖形，圖像矩陣和結構矩陣的應用，能夠從公式、結構上感受到數學的對稱美。從圖中還能看到對稱性，它指的是對一類具有無窮嵌套的幾何對象。

根據三分 Cantor集的構造可以導出有趣序列和一列有趣的對數不等式 ：

有 數 列 {X}: 1,3,7,9,19,21,25,...

而這樣用同一種數學符号表示出多種數量之間關系或在一連串的、有規律的變化中揭示數量之間關系的數學結果正體現了數學的序列美。

總之，分形讓我們深切地感受到了數學美，而且分形與其他學科的融合也不能不讓人感受到它的神秘和數學的和諧美。分形這一現代學科與古老的牛頓法存在着極為密切的聯系，它在複動力系統中的應用更是讓我們大開眼界。從分形能看到古老與現代、簡單與複雜的完美統一。而對數學的研究，人們自覺不自覺地 都在使用着美學規律，數學的發展是人們對于數學美的追求的結晶。

由此，我們可以運用數學方法去計算西蘭花的表面積和大概體積。首先，我們需要對西蘭花進行簡單建模。

此計算基于以下假設：

1、将西蘭花的分形圖案看做是一個正六邊形。

2、假設西蘭花每一個六邊形和下一個子六邊形的比例都是 3/4。

3、假設西蘭花的中心杆長與西蘭花中間最大的六邊形的邊呈 2:1 的比例關系。

首先由等比數列可以計算西蘭花的表面積得：

解：設西蘭花的中心杆長為 x cm（ 的長度與西蘭花種植的水分、土壤、光照、技術、西蘭花種植鼠密度等有關），則可得西蘭花最中心的六邊形邊長為 x/2 cm。

同時，西蘭花分形展開次數為 y。

由于西蘭花基本上都是由不超過四次分形展開的花簇組成的，隻要根據不同的西蘭花再乘以其花簇數即可。

還可用公式 πz(z-x) (z為西蘭花最側邊長) 接下來對西蘭花的體積進行建模。

由圖可見，西蘭花的體積是由球形體積的一部分加上圓錐體的體積構成的。設球的半徑為 z cm。

則西蘭花的體積為

總結：分形在我們的生活中無處不在，我們要善于觀察它的美，把分形問題運用的日常生活中，為生活帶去數學的美感，讓分形問題融入在日常生活之中。

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