一般來說，對一元函數微分是比較容易的（可導與可微等價，dy=f'(x)dx），特别是與它的分析對應物（積分）相比。在一些情況下，我們希望事情簡單一些。例如，考慮以下函數：

這隻不過是一個簡單的實數多項式。然而，當涉及到微分時，它就不再那麼簡單了。乍一看，有（至少）兩種微分（求導）方法。

• 将括号裡的内容展開，然後對每一項微分
• 使用乘積的微分法則。

顯然，第一種方法不是一個很好的選擇（太繁瑣）。就使用乘積的微分法則而言，情況要好一些，但仍然不夠簡便：

在上述情況下，f的所有因子都是多項式，但如果我們有一個像下面這樣的函數，會怎麼樣呢：

那麼，對于像g(x)這樣複雜的情況該怎麼辦，因為使用通常的乘積微分法則會花費大量的時間。

我們可能還記得老師以前講過，對數使運算更容易，因為指數變成了乘法，乘法變成了加法等等。我們可以通過取對數使這類函數的微分變得更加容易。

例如，考慮一個像下面這樣的函數f：

假設上述乘積中出現的所有因子都是可微的，也是正的。那麼f是正的，所以g是有意義的，其中g是以下函數：

現在，請牢記：

很容易得到下面的函數：

另一方面，觀察一下：

可以得到：

因此，我們得到了一個很好的f的求導公式。雖然在計算中大量使用了對數，但得到的公式卻沒有對數，這主要是由于對數的導數本身并不包括任何對數，除了f中可能出現的對數。

在上面我們假設f的所有因子都是正的。然而，這并不是上述結果成立的必要條件。事實上，請看下面等式：

将上述内容與鍊式法則結合起來，我們得到以下結果：

因此，對于任何可微調且不為零的函數f，上式也是成立的。就是說：

所以，上述公式适用于任何可微調且取非零值的函數。但是，對于有零值的函數又是怎樣的呢？例如，假設f是一個這樣的函數：

• f是在所有實數上定義的。
• f在任何地方都是可微的，但不知道在x=1處的情況。
• 存在以下極限：

我們将證明：

• 可微函數的一個準連續性屬性。

實際上，如果使用洛必達法則，上述情況相對容易。首先，考慮極限：

• f在1處的導數。

上述極限，如果它存在的話，與f在1處的導數相等：

因此，由于上式右邊的極限存在，我們很容易從洛必達法則中得到：

但是我們要讨論的是乘積和導數，而現在我們在證明的是函數導數的連續性。這裡出了什麼問題？實際上，沒有什麼。我們已經得到函數（其他函數的乘積）的求導公式，隻對非零函數有效。然而，如果一個可微函數f在某些孤立點上有一些零點：

那麼，通過上述公式，我們可以得到：

此外，在f的導數是連續的情況下（這是通常的情況），我們也可以對f的零使用相同的公式，隻要上面的公式在零點定義得很好。

一般來說，當涉及到函數的乘積時，微分可能是相當困難的。然而，利用一些對數和一點點代數，我們得出了一個很好的公式，在大多數情況下都是有效的。也就是說，對于任何可微的函數：

我們已經證明，如果在任何一點上，f都不為零，那麼：

也許，這是我們第一百萬次遇到這個公式。