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微分方程怎麼取兩邊對數
微分方程怎麼取兩邊對數
更新时间:2025-07-26 04:06:35

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)1

一般來說,對一元函數微分是比較容易的(可導與可微等價,dy=f'(x)dx),特别是與它的分析對應物(積分)相比。在一些情況下,我們希望事情簡單一些。例如,考慮以下函數:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)2

這隻不過是一個簡單的實數多項式。然而,當涉及到微分時,它就不再那麼簡單了。乍一看,有(至少)兩種微分(求導)方法。

  • 将括号裡的内容展開,然後對每一項微分
  • 使用乘積的微分法則。

顯然,第一種方法不是一個很好的選擇(太繁瑣)。就使用乘積的微分法則而言,情況要好一些,但仍然不夠簡便:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)3

在上述情況下,f的所有因子都是多項式,但如果我們有一個像下面這樣的函數,會怎麼樣呢:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)4

對數微分(Log-Differentiation)

那麼,對于像g(x)這樣複雜的情況該怎麼辦,因為使用通常的乘積微分法則會花費大量的時間。

我們可能還記得老師以前講過,對數使運算更容易,因為指數變成了乘法,乘法變成了加法等等。我們可以通過取對數使這類函數的微分變得更加容易。

例如,考慮一個像下面這樣的函數f:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)5

假設上述乘積中出現的所有因子都是可微的,也是正的。那麼f是正的,所以g是有意義的,其中g是以下函數:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)6

現在,請牢記:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)7

很容易得到下面的函數:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)8

另一方面,觀察一下:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)9

可以得到:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)10

因此,我們得到了一個很好的f的求導公式。雖然在計算中大量使用了對數,但得到的公式卻沒有對數,這主要是由于對數的導數本身并不包括任何對數,除了f中可能出現的對數。

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在上面我們假設f的所有因子都是正的。然而,這并不是上述結果成立的必要條件。事實上,請看下面等式:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)11

将上述内容與鍊式法則結合起來,我們得到以下結果:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)12

因此,對于任何可微調且不為零的函數f,上式也是成立的。就是說:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)13

所以,上述公式适用于任何可微調且取非零值的函數。但是,對于有零值的函數又是怎樣的呢?例如,假設f是一個這樣的函數:

  • f是在所有實數上定義的。
  • f在任何地方都是可微的,但不知道在x=1處的情況。
  • 存在以下極限:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)14

我們将證明:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)15

  • 可微函數的一個準連續性屬性。

實際上,如果使用洛必達法則,上述情況相對容易。首先,考慮極限:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)16

  • f在1處的導數。

上述極限,如果它存在的話,與f在1處的導數相等:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)17

因此,由于上式右邊的極限存在,我們很容易從洛必達法則中得到:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)18

但是我們要讨論的是乘積和導數,而現在我們在證明的是函數導數的連續性。這裡出了什麼問題?實際上,沒有什麼。我們已經得到函數(其他函數的乘積)的求導公式,隻對非零函數有效。然而,如果一個可微函數f在某些孤立點上有一些零點:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)19

那麼,通過上述公式,我們可以得到:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)20

此外,在f的導數是連續的情況下(這是通常的情況),我們也可以對f的零使用相同的公式,隻要上面的公式在零點定義得很好。

總結

一般來說,當涉及到函數的乘積時,微分可能是相當困難的。然而,利用一些對數和一點點代數,我們得出了一個很好的公式,在大多數情況下都是有效的。也就是說,對于任何可微的函數:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)21

我們已經證明,如果在任何一點上,f都不為零,那麼:

微分方程怎麼取兩邊對數(如何利用對數微分)22

也許,這是我們第一百萬次遇到這個公式。

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