前段時間看到有李永樂發的視頻，說

老師讓你證明三角形的内角和是180度，于是你找了幾個三角形，發現它們的内角和都是180度，于是證明完畢，這種做法對嗎？

我問了許多人，都認為這個方法不對。但實際上，這麼做是有道理的，它是正确而且嚴格的，這就是例證法，它是演繹和歸納法的統一，隻是上學時候老師從沒教過。

當時覺得李永樂老糊塗了，沒怎麼看，這幾天又看到推薦頁面裡有人争論，出于好奇看了一下。

其實他視頻裡的方法，大方向上是對的，但有些細節問題。

首先，應當指出，他用例證法這個名字，有點标題黨，刻意吸引人注意。

本質上是将問題代數化，變成多項式函數。

要證明的結果等價于那個多項式恒為0。

那麼如果不成立，根據多項式的代數性質，其零點必然是有限的。

然後隻要找出更多的“反例”，就證明了假設不成立。

這裡主要用的是解析法、反證法。

并不是說一個例子證明了什麼，而是足夠多的“反例”證明了結論不能不成立。而保證論證過程嚴謹需要大量的背後工作。

他這種帶有配圖的原始陳述是不嚴謹的，雖然這種不嚴謹的陳述的确起了吸引人的作用。

下面我們來看具體細節。

對于三角形ABC，以A為原點，AB方向為x軸，AB為單位長度建立坐标系，那麼B坐标(1,0)，設C坐标(x,y).

取BC中點M,延長AM到D使得MD=AM,那麼三角形ABM全等于DCM，角ABC=角DCB.

同樣的方法取AC中點N,延長BN到E使得EN=BN可得角BAC=角ECA.

于是角ECA 角ACB 角BCD就等于三角形的内角和，要證明它是180度，也就是證明ECD三點共線。

三點共線，等價于（他的原視頻裡沒有用行列式，不過本質一樣）

恒為0。

由于M是AD和BC中點，故

從而 是x的一次式，類似地可以得到是x的一次式，是y的一次式。

從而f(x,y)對于x和y都是一次的。

所以隻要找兩個不同的x和兩個不同的y，驗證2乘以2種可能之後就能證明f(x,y)恒為0。

問題是，用哪2乘以2種可能呢？

李永樂的視頻裡用了(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

需要注意，y=0時，C落在AB上，不構成三角形，内角和也無從談起。

不過這個問題也是可以挽救的，三角形雖然沒了，保證三點共線的函數仍然有效，對其的讨論最終可以适用于y不為0的情況，但需要說明。

補救方法1：對y=0的情況做代數計算，算出來f(x,y)在y=0時為0.

補救方法2：指明多項式函數是連續的，在y趨于0時，幾何圖形在壓扁過程中也是連續的，因此被壓扁的極端情況下所有點都共線，可以據此得到f(x,y)在y=0時為0.（但要嚴格論證幾何圖形在壓扁的過程中是連續的，我能想到的還是把點的坐标都算出來，所以仍然回歸方法1）。

至于y=1的另兩個，是等腰直角三角形，内角和可以用正方形剖分得出，不過也需要說明。

實際上，在前面是可以比較容易地算出的，那麼f(x,y)恒等于0及三點共線就是顯然的。

在那裡故意停止，然後專門用例證，反而顯得故意讓功。

盡管這種方法在别的問題中可能是簡捷的。