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是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣
是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣
更新时间:2025-11-23 02:06:22

高等數學我們都知道,也都學過,那麼作為高等數學裡的線性代數,想必就不陌生了,打的交道太多了,想不熟都不行啊。提到線性代數,就不得不說說矩陣了,一個與線性代數密切相關的東西,那麼n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多呢?

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣(n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多)1

關于這個問題如果我們從幾個角度來看,就從集合的勢的角度來說的話,那就是一樣多的;從拓撲的角度來說,可逆矩陣全體是n^2維線性空間中的稠密開集,不可逆矩陣全體則是無處稠密的閉集,所以前者“更大”。從測度論的角度來說,不可逆矩陣全體是n^2維Lebesgue測度下的零測集,所以也更小。

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣(n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多)2

不可逆矩陣又叫奇異矩陣,不嚴格的說,奇異二字本身就暗示着此類矩陣很特殊,那就是說相對少呗,這種問題一般都這樣不嚴格的考慮:假設一個n階矩陣A的除了A11之外的所有元素都固定。那麼考慮A11從負無窮連續變化到正無窮的過程中,A的行列式也會相應變化,注意行列式是個關于A11的1次多項式,有一個根,也就是說A11從負無窮到正無窮這個極限多個取值中,隻有一個取值能夠讓A是奇異陣,剩下無窮多個取值都會導緻A非奇異。所以非奇異陣相對來說要多于奇異陣。

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣(n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多)3

但是一定要分兩個大小,那就真的不好說了,那估計就是分類讨論了,其中要考慮的多着呢,比如還得考慮無限域上矩陣情況,還有就是有限域上的矩陣,更通俗的來說可逆矩陣的行列式不為0,不可逆矩陣的行列式為0,(直觀上講,應該是可逆矩陣多)。

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣(n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多)4

線性代數的矩陣都這麼好玩神奇,所以,數學的魅力也就不言而喻了。數學的神奇就是這樣,往往不經意間就能引發很多。不得不感歎數學的力量啊。

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