數列極限的性質及運算-tft每日頭條

上一節中介紹了函數與數列的相似之處，而收斂數列與函數極限的性質也有許多類似的地方，下面我們以函數極限的性質為例來探讨收斂數列與函數極限的性質。

（3）收斂數列與函數極限的性質

首先我們要引入單側極限的概念：

函數極限定義中的自變量X趨近于某個常數，X可以從左側趨近，當然也可以從右側趨近。

數列極限的性質及運算（高等數學3）1

定理1 （函數極限的唯一性）如果函數的極限存在，那麼這個極限值必唯一

下面我們就來證明這個定理：

數列極限的性質及運算（高等數學3）2

來看函數f(x)的圖像，我們可以發現：

當自變量X趨近0的左側時，函數的值趨近于負無窮。

當自變量X趨近0的右側時，函數的值趨近于正無窮。

顯然函數在X趨近于0的左右極限不唯一，那麼我們能認為函數的極限可以不唯一嗎？

用反證法：

數列極限的性質及運算（高等數學3）3

定理2 （函數極限的局部有界性）當x→a時，若有f(x)=A，那麼存在常數M>0和δ>0,使得當0<|x-a|<δ時，有|f(x)|<=M

首先， x→a本來就是一個局部的概念，表示X位于a附近的一個去心領域内，

舉個簡單的例子，如f(x)=x, 顯然這個函數在x趨近于1時的極限值就是1，也因此函數在點x=1處一個很小的去心領域内是有界的，如區間（0.9999，1）∪（1，1.00001）内顯然是有界的。

數列極限的性質及運算（高等數學3）4

定理3 （函數極限的局部保号性） 當x→a時，若有f(x)=A，且A>0(或A<0),那麼存在常數δ>0，使得當0<|x-a|<δ時，有f(x)>0(或f(x)<0)

還是以f(x)=x為例，x趨近于1時的極限值是大于0的，顯然在存在一個在x=1附近的領域如（1，100001）内函數的值大于0.

數列極限的性質及運算（高等數學3）5

最後與函數極限的性質比較，可得收斂數列的一些相應性質：

定理1 （極限的唯唯一性）如果數列{Xn}收斂，那麼它的極限唯一定理2 （收斂數列的有界性）如果數列{Xn}收斂，那麼數列{Xn}一定有界定理3 （收斂數列的保号性）如果數列{Xn}的極限值為A，且當A>0(或A<0),那麼存在正整數N，當n>N時，都有Xn>0(或Xn<0)

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限于作者水平，若有不妥之處望廣大讀者指正，共同進步。