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數列極限的性質及運算
數列極限的性質及運算
更新时间:2025-07-08 09:44:30

上一節中介紹了函數與數列的相似之處,而收斂數列與函數極限的性質也有許多類似的地方,下面我們以函數極限的性質為例來探讨收斂數列與函數極限的性質。


(3)收斂數列與函數極限的性質

首先我們要引入單側極限的概念:

函數極限定義中的自變量X趨近于某個常數,X可以從左側趨近,當然也可以從右側趨近。

數列極限的性質及運算(高等數學3)1

定理1 (函數極限的唯一性)如果函數的極限存在,那麼這個極限值必唯一

下面我們就來證明這個定理:

數列極限的性質及運算(高等數學3)2

來看函數f(x)的圖像,我們可以發現:

當自變量X趨近0的左側時,函數的值趨近于負無窮。

當自變量X趨近0的右側時,函數的值趨近于正無窮。

顯然函數在X趨近于0的左右極限不唯一,那麼我們能認為函數的極限可以不唯一嗎?

用反證法:

數列極限的性質及運算(高等數學3)3

定理2 (函數極限的局部有界性) 當x→a時,若有f(x)=A,那麼存在常數M>0和δ>0,使得當0<|x-a|<δ時,有|f(x)|<=M

首先, x→a本來就是一個局部的概念,表示X位于a附近的一個去心領域内,

舉個簡單的例子,如f(x)=x, 顯然這個函數在x趨近于1時的極限值就是1,也因此函數在點x=1處一個很小的去心領域内是有界的,如區間(0.9999,1)∪(1,1.00001)内顯然是有界的。

數列極限的性質及運算(高等數學3)4

定理3 (函數極限的局部保号性) 當x→a時,若有f(x)=A,且A>0(或A<0),那麼存在常數δ>0,使得當0<|x-a|<δ時,有f(x)>0(或f(x)<0)

還是以f(x)=x為例,x趨近于1時的極限值是大于0的,顯然在存在一個在x=1附近的領域如(1,100001)内函數的值大于0.

數列極限的性質及運算(高等數學3)5

最後與函數極限的性質比較,可得收斂數列的一些相應性質:

定理1 (極限的唯唯一性) 如果數列{Xn}收斂,那麼它的極限唯一定理2 (收斂數列的有界性) 如果數列{Xn}收斂,那麼數列{Xn}一定有界定理3 (收斂數列的保号性) 如果數列{Xn}的極限值為A,且當A>0(或A<0),那麼存在正整數N,當n>N時,都有Xn>0(或Xn<0)

謝謝觀看

限于作者水平,若有不妥之處望廣大讀者指正,共同進步。

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