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高中立體幾何面到面的距離怎麼求
高中立體幾何面到面的距離怎麼求
更新时间:2025-07-15 11:15:50

一道高中立體幾何題-求點到平面的距離

在一個4x4x3的矩形的多面體中, 頂點A,B,C與頂點D相鄰, 求頂點D到ABC所在的平面距離。

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)1

解法1: 如圖做三角形ABC底邊BC的高AE, 連接DE,那麼在直角三角形ADE斜邊AE的高DF就是點D到平面ABC的距離,這是因為BC同時垂直于ADE平面上的兩條直線AE和AD, 那麼BC也垂直于DF, 而DF垂直于AE後, 就垂直于平面ABC。

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)2

在三角形ABC中, 可以知道AB=AC=5, 這是因為ADC是直角三角形,兩個直角邊為3和4, 則斜邊AC=5.

而BC=4√2, 那麼EC=2√2

因而在等腰三角形ABC中有底邊的高AE,在直角三角形AEC,利用勾股定理可以求出:

AE=√17

現在回到三角形AED, 這是一個直角三角形, 兩個直角邊分别是AD=3, ED=BC/2=2√2,

并且知道斜邊AE=√17,

那麼利用面積方法,可以求出斜邊的高DF,

因為DF·AE=AD·DE

最後求得:

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)3

解法2: 利用空間解析幾何的知識, 若設點D的坐标為原點,即D(0,0,0)那麼A(0,0,3), B(4, 0, 0), C(0, 4, 0), 那麼A, B, C三點的平面方程為:

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)4

這是截距形式, 化為一般形式為:

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)5

根據空間點(a, b, c)到平面

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)6

的的距離公式:

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)7

對于ABC這個平面方程, A=3, B=3, C=4, D=-12.

将點D帶入上面的公式,因為D為原點,所以a=b=c=0, 最後求得距離:

高中立體幾何面到面的距離怎麼求(一道高中立體幾何題-求點到平面的距離)8

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