考研數學2考無窮級數嗎-tft每日頭條

函數列與函數項級數（二）

在上一期我們聊了一下函數列以及它的收斂性，在這一期我們将讨論如何判定函數列的一緻收斂。為了大家能夠更好地理解下面的内容，我們先回憶一下函數列一緻收斂的定義。

一緻收斂的定義：我們首先給出一緻收斂的定義：設函數列與函數定義在同一數集D上，若對任給的正數，總存在某一正整數N，使得當n＞N時，對一切x∈D，都有

＜ε

則稱函數列

在D上一緻收斂于f，記作

考研數學2考無窮級數嗎（考研數學函數項級數一緻收斂的判定方法）1

判斷一緻收斂的方法有兩個：

1.柯西一緻收斂判别準則

函數列在數集D上一緻收斂的充要條件為：對任給正數ε，總存在正數N，使得當n、m＞N時，對一切x∈D，都有

＜ε

當一個函數列一緻收斂于函數時，根據一緻收斂的定義我們可以知道若對任給的正數，總存在某一正整數N，使得當n＞N時，對一切x∈D，都有

＜ε

必然也會存在一個正數m，且m﹥N但是n≠m，使得＜ε

所以，=

≤

＜ε ε=2ε

從而＜2ε

為了方便結果的好看我們可以令＜，＜

這樣就有了＜ε

當一個函數列滿足條件“對任給正數ε，總存在正數N，使得當n、m＞N時，對一切x∈D，都有＜ε”時，我們可以聯想到數列收斂的柯西準則，

我們任取∈D，則數列有

當n、m＞N時，有＜ε

所以數列收斂

令,則＜ε

由于是我們在D中任意取的一個數，所以對任意一個x∈D都滿足

＜ε再根據函數列一緻收斂的定義可知函數列在數集D上一緻收斂。

2.函數列在數集D上一緻收斂于函數的充要條件為：

＜ε,x∈D

這個定理是最常用的，前提是我們必須知道函數列的具體表達式。

當函數列在數集D上一緻收斂于函數時，根據函數列一緻收斂的定義我們有

對任給的正數，總存在某一正整數N，使得當n＞N時，對一切x∈D，都有

＜ε

所以，再根據上确界的定義我們可以得到＜ε

從而有＜ε

當函數列滿足條件“＜ε,x∈D ”時，我們可以知道

對任意ε＞0，存在N，當n＞N時，有＜ε，x∈D

所以，當n趨近于無窮大時，我們有

≤ ＜ε，x∈D

所以，＜ε

根據函數列一緻收斂的定義可知，函數列一緻收斂于函數。

在下一期我們将要讨論函數項級