牛頓是著名的數學家和物理學家，我們知道他創立了經典力學，創造了微積分，可是他墓碑上刻着的唯一公式既不是關于牛頓力學，也不是關于微積分，而是大多數人可能并不知曉的一個公式：
1665年，倫敦爆發鼠疫，牛頓回到鄉下躲避瘟疫，正是在這個時期他做出了平生最重要的幾個成就，二項式定理、光的分解，萬有引力，微分。這個公式刻在牛頓墓碑上足見它才是牛頓最引以為傲的成就，事實上，後來的微積分正是由牛頓二項式孕育而來。我們所熟知的二項式定理是在高中學習排列組合的時候接觸的，
這裡的n是正整數，這個公式用數學歸納法就可以證明。牛頓二項式是這個二項式的推廣：
比較一下這兩個式子，可以看到上面的式子展開後是有限項，下面這個展開後是無窮項，其實上面的式子展開後也可以寫成無窮項，隻不過後面的項系數全為零。如第n 2項：n*(n-1)*(n-2)* ... *1*0/(n 1)!。這樣看來經典的二項式定理，就是牛頓二項式，也就是廣義二項式定理的特殊情況。牛頓猜測出這樣的展開式之後并沒有給出證明，後來歐拉完善了這個證明，現在根據歐拉的方法來證明一下。
這裡m是有理數，先證明f這個函數滿足f(m)f(n)=f(m n)，回憶經典二項式定理，若a，b是正整數，則
這樣f(a b)與f(a)f(b)同類項的系數一定相等，f(a b)的第（k 1）項為
f(a)f(b)的x^k這一項的系數為
由于f(a b)=f(a)f(b)，于是
這是一個恒等式，對于任意正整數a,b成立，牛頓二項式的推廣本質來說是這個恒等式對于有理數也成立，甚至對實數、複數都成立。我們在擴充數域的時候保證了運算法則的兼容，也就是不管是整數、有理數、實數、複數，它們都滿足加法和乘法的交換律、結合律，滿足乘法分配率，于是既然這個恒等式在整數集成立，在有理數集必然也成立。
這樣，對于有理數m,n，就有
于是：
有了它，後面的證明就簡單了。先考慮正有理數的情況，設a,b是正整數：
對于負有理數，設p為負有理數，則f(p)f(-p)=f(p-p)=f(0)=1,這樣f(p)=1/f(-p),前面已經證明了正有理數滿足牛頓二項式，則
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