對于積分，首先要有微元法的思想，先簡單地引入定積分定義來源：分割-做乘積-求和-取極限。而微元法思想，一直貫穿考研數學的核心，即使到後面的概率論中求概率密度和分布函數，依然需要用微元法的思想。萬物皆可微。

對于變換“元”的方法有哪些呢？

時間“元”與空間“元”，點元-線元-面元-體元，均勻-非均勻，直線-曲線。對于極坐标系還有角“元”和弧“元”等等。

根據題目明确對何種元素進行分割？是把曲線分割成很多個一小段，還是把塊切成很多個一小薄片？先把分割後某一點處的微元表示出來，然後積分區域累加，最後選用合适方法計算所表示出來的積分。

第一型第二型曲線積分依然要運用微元法的思想。

1.對于第一型曲線積分，其物理意義是求曲線杆的質量，幾何意義是對弧長的曲線積分。

定義和性質如下：

基本計算方法：直接法、利用奇偶性、利用對稱性、利用形心坐标

對于（1），ds=根号下（dx dy），提出一個dt到根号外，同時在根号内同除dt，就可得到（1）式。

對于（2）是把x看成參數：y=y(x),x=x。ds=根号下（dx dy），提出一個dx到根号外，同時在根号内同除dx，就可得到（2）式。

對于（3）把θ看成參數。

4.利用形心，縱坐标或橫坐标比較明顯的情況下，分母表示L的周長容易求的情況下，考慮此法。

有關第一型曲線積分的題型一般用上述四種方法即可求解，比較簡單。

2.對于第二型曲線積分，其物理意義是變力沿曲線做功。

由于是變力（有大小也有方向）和曲線，所以在計算過程中要注意方向。相對于第一型曲線積分是對弧長（隻有正）的線積分，而第二型曲線積分則是對坐标（有正有負）的線積分。

第二型曲線積分定義和性質如下：

計算方法有如下幾種，具體題目依據其已知情況選用組合不同方法。

【直接法是通過變量參數化後計算定積分，起點為下限，終點為上限】

【注：使用格林公式需要：L需要滿足光滑封閉正向曲線，正向：如果是單連通區域，逆時針為曲線正向，如果是複連通區域，則外圈逆時針，内圈順時針。總而言之，内圈外圈都要滿足你在“跑步時”，左手是靠在積分區域内側。可以畫圖理解：箭頭方向為正方向，左手均靠在區域（陰影部分）内側。 P(x,y),Q(x,y)在區域内有一階連續偏導數，即區域内沒有瑕點（無定義點），滿足以上兩個條件才能用格林公式。如果：曲線非閉合，則補線閉合後再用格林公式，如果存在瑕點，則挖去瑕點變成複連通區域再用格林公式】

【注：兩類曲線積分的聯系，需要求有向曲線弧在某點處的切向量的方向角cosα=正負（dx/dt）/((根号下dx dy)/dt）,計算量大，一般不用此法】

典型例題：例1，利用積分與路徑無關。

兩種解法如下，第一種解法簡要變換路徑亦有兩種。

解法二如下：

例2、利用格林公式以及補線用格林公式

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