1、NP完全問題

　　例：在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裡掃視，并且發現宴會的主人是正确的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。

　　生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。

　　人們發現，所有的完全多項式非确定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間内計算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個确定性算法，可以在多項式時間内，直接算出或是搜尋出正确的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用内部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克于1971年陳述的。

　　2、黎曼假設

　　有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起着重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性态。著名的黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立将為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。

　　3、BSD猜想

　　數學家總是被諸如 那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題着迷。歐幾裡德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對于更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來确定這樣的方程是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維讷通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性态。特别是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等于0,那麼存在無限多個有理點(解)。相反，如果z(1)不等于0。那麼隻存在着有限多個這樣的點。