01線性分析

外加載荷與系統的響應之間為線性關系。例如線性彈簧，結構的柔度陣（将剛度陣集成并求逆）隻需計算一次。通過将新的載荷向量乘以剛度陣的逆，可得到結構對其它載荷情況的線性響應。

此外，結構對各種載荷情況的響應，可以用常數放大和/或相互疊加，以确定它對一種全新載荷情況的響應，所提供的新載荷情況是前面各種載荷的疊加（或相乘）。這種載荷的疊加原理假定所有的載荷情況采用了相同的邊界條件。

02非線性分析

非線性結構問題是指結構的剛度随其變形而改變。所有的物理結果均是非線性的。線性分析隻是一種近似，它對設計來說通常已經足夠了。但是，對于許多結構包括加工過程的模拟（諸如鍛造或者沖壓）、碰撞分析以及橡膠部件的分析（諸如輪胎或者發動機支座），線性分析是不夠的。一個簡單例子就是具有非線性剛度響應的彈簧。

線性彈簧，剛度是常數

非線性彈簧，剛度不是常數

由于剛度依賴于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加載荷的方法來計算任意載荷時彈簧的位移。在非線性隐式分析中，結構的剛度陣在整個分析過程中必須進行許多次的生成和求逆，分析求解的成本比線性隐式分析昂貴得多。在顯式分析中，非線性分析增加的成本是由于穩定時間增量減小而造成的。

非線性系統的響應不是所施加載荷的線性函數，因此不能通過疊加來獲得不同載荷情況的解答。每種載荷情況都必須作為獨立的分析進行定義和求解。

03非線性的來源

在結構的力學模拟中有三種：材料非線性、邊界非線性（接觸）、幾何非線性。

(1) 材料非線性

大多數金屬在低應變值時都具有良好的線性應力/應變關系；但是在高應變時材料發生屈服，此時材料的響應成為了非線性和不可恢複的。橡膠材料等也是一種非線性、可恢複（彈性）響應的材料。

材料的非線性也可能與應變以外的其它因素有關。應變率相關材料數據和材料失效都是材料非線性的形式。材料性質也可以是溫度和其它預先定義的場變量的函數。

(2) 邊界非線性

如果邊界條件在分析過程中發生變化，就會産生邊界非線性問題。懸臂梁随着施加的載荷産生撓曲。

梁端點在接觸到障礙物以前，其豎向撓度與載荷成線性關系（如果撓度是小量）。當碰到障礙物時梁端點的邊界條件發生了突然的變化，阻止了任何進一步的豎向撓度，因此梁的響應将不再是線性的。邊界非線性是極度的不連續；當在模拟中發生接觸時，結構中的響應在瞬時會發生很大的變化。

另一個邊界非線性的例子是将闆材材料沖壓入模具的過程。在與模具接觸前，闆材在壓力下比較容易發生伸展變形。在與模具接觸後，由于邊界條件的改變，必須增加壓力才能使闆材繼續成型。

(3) 幾何非線性

幾何非線性發生在位移大小影響到結構響應的情況。由于：大撓度或大轉動；突然翻轉（Snap through）；初應力或載荷剛性化。

如果端部的撓度較小，可以認為是近似的線性分析。然而，如果端部的撓度較大，結構的形狀乃至其剛度都會發生改變。另外，如果載荷不能保持與梁軸垂直，載荷對結構的作用也将發生明顯的改變。當懸臂梁撓曲時，載荷的作用可以分解為一個垂直于梁的分量和一個沿梁長度方向的分量。這兩種效應都會對懸臂梁的非線性響應産生貢獻（即，随着梁承受載荷的增加，梁的剛度發生變化）。

不難理解大撓度和大轉動對結構承載的方式會産生顯著的影響。然而，并不一定位移相對于結構尺寸很大時，幾何非線性才顯得重要。考慮一塊很大的具有小曲率的闆在所受壓力下的“突然翻轉”。

闆的剛度在變形時會産生劇烈的變化。當闆突然翻轉時，剛度變負；盡管位移量值相對于闆的尺寸很小，但是有明顯的幾何非線性，必須在模拟中加以考慮。

04非線性分析步驟

建立模型基本方程的公式離散方程求解方法表述結果

05非線性有限元基本解決方案

• 材料非線性－Newton-Raphson叠代(隐式)，中心差分，R-K（顯式）
• 邊界非線性－接觸(約束，連接，摩擦，滑移）Lagrange乘子，罰函數
• 幾何非線性－考慮Jaumann率的大變形算法，弧長法（Riks）

06非線性分析包含的重要主題

• 選擇近似的方法（如Newton-Raphson）
• 選擇合适的網格描述，動力學和運動學的描述
• 檢驗結果和求解過程的穩定性（物理和數值）
• 認識模型的平滑響應和隐含的求解質量和困難
• 判斷假設的作用和誤差的來源

07非線性有限元分析關聯的三個領域

• 線性有限元方法，結構分析矩陣方法的擴展；
• 非線性連續介質力學；
• 數學，包括數值分析、線性代數和泛函。

本文内容參考百度文庫PPT講義《非線性專題-本構模型》整理而成