利用導數解決解析幾何中的切線、中點弦問題，是高中數學繁難問題的一種通用解題方法。

1. 利用導數求解切線方程

利用導數的幾何意義，把二次曲線方程看作：

是x的函數，利用複合函數求導法則，可輕松求出切線的斜率。如對圓

，兩邊對x求導，則有

，所以在切點（m，n）處的切線斜率

－

。從而求出切線方程是

。類似地可輕松求出過橢圓、雙曲線、抛物線等曲線上的點的切線方程。

2. 利用求導法求解中點弦問題

如果以圓、橢圓等圖形的中心為中心，按比例縮小圖形，則一定存在同類的圓、橢圓等與弦AB中點M相切（如圖1）。此時縮小的曲線方程如

，兩邊對x求導，可發現并不改變原方程求導的結果。因此，利用導數法求中點弦的斜率，就是

在中點處的值。

圖1

應用

1. 求中點弦方程

例1. 已知雙曲線方程

，求以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；（2）過點B（1，1），能否作直線，使與所給雙曲線交于P、Q兩點，且點B是弦PQ的中點？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。

解：對

兩邊求導，得

（1）以A（2，1）為中點的弦的斜率

，所以所求中點弦所在直線方程為

（2）以B（1，1）為中點的弦的斜率

，所以所求中點弦所在直線方程為

即

。

但與雙曲線方程聯立消去y得

，無實根。因此直線與雙曲線無交點，所以滿足條件的直線不存在。

說明：（1）求出的方程隻是滿足了必要性，還必須驗證其充分性，即所求直線與雙曲線确實有兩個交點。

2. 證明與中點弦有關的不等式

例2. 已知橢圓

，A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P

，求證：

。

證明：設AB的中點是P（m，n），則中點P在橢圓内，

所以

①

對橢圓

兩邊求導

有

，得

故中點弦AB的斜率

，所以線段AB的垂直平分線斜率滿足：

，得

。

代入①式得。

3. 求與中點弦有關的軌迹問題

例3. 已知定點A（0，2），橢圓，過A任意引直線與橢圓交于兩點P、Q，求線段PQ中點的軌迹方程。

解：設線段PQ的中點為M（x，y）。

對橢圓兩邊求導，得

所以

的斜率為

。又

，

所以

。

化簡即得

（在橢圓内的部分）。

4. 求與中點弦有關的對稱問題

例4. 求抛物線上不存在關于直線

對稱的兩點，求m的取值範圍。

解：（1）當

時，曲線上不存在關于直線對稱的兩點。

（2）當m≠0時，假設存在關于直線對稱的兩點，設這兩點的中點為A（a，b），則A必在抛物線内，所以

。①

對兩邊求導，得

，所以中點弦的斜率為

。 ②

将點A（a，b）坐标代入得

③

由①②③得

即

又

恒成立，

所以

故

時滿足題意。

綜上（1）（2），m取值範圍是

。

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