1、設子空間上的一組基為{e1,e2,,er}任取一組整個空間上的基{f1,f2,,fn}把fi依次一個一個地放入子空間的基，比如{e1,e2,,er,f1},如果這組向量線性相關，則拿掉f1，如果線性無關，則留在裡面，擴充了一個，記f1=e_(r+1)再把f2放進去{e1,e2,,er,e_(r+1),f2}同上述過程一樣。最終得到一組線性無關的向量{e1,e2,es}容易看出{f1,f2,,fn}能與{e1,e2,es}互相線性表示得出{e1,e2,es}的極大無關組個數為n又因為{e1,e2,es}線性無關，所以s=n所以{e1,e2,en}就是擴充後的一組基。
2、數系擴充的過程體現了數學的發展和創造的過程,也體現了數學發生、發展的客觀需求.雖然學生知道自然數集、整數集、有理數集和實數集，了解它們之間的包含關系。
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