現代統計學奠基人之一、英國統計學家費希爾(Fisher）曾把抽樣分布、參書估計和假設檢驗看作統計推斷的三大中心内容。

　　統計學中，需要研究統計量的性質，并評價一個統計推斷的優良性，而這些取決于其抽樣分布的性質，所以，抽樣分布是統計學中的重要内容。

　　統計學中常見的抽樣分布有4種：正态分布、卡方分布、t分布、F分布，後面三大分布都是在正态分布的基礎上推導出來的。

　　正态分布 正态分布是最重要的一種分布，其分布曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形。

　　自然界中很多現象都是符合正态分布，比如：

　　人的身高，特别高和特别矮的人都是少數，中等身材的占大多數。一個班的成績，特别低和特别高的都是少數，處于中間狀态的占大多數。 正态分布的概率密度函數為：

　　其中，μ為均值，σ為标準差。

　　當μ=0，σ=1時，相應的正态分布N(0,1)稱為标準正态分布。

　　通過Python可以很容易地繪制出标準正态分布的分布曲線圖。

　　from pylab import mpl mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 指定默認字體 mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解決保存圖像是負号'-'顯示為方塊的問題 import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt mu=0 sigma=1 x=np.arange(-5,5,0.1) y=stats.norm.pdf(x,0,1) plt.plot(x,y) plt.title("正态分布曲線：$\mu$=%.1f,$\sigma^2$=%.1f" % (mu,sigma)) plt.ylabel("概率密度",fontsize=14) plt.show()

　　卡方分布 卡方分布由阿貝(Abbe)于1863年首先提出的，并由Hermert（赫爾默特）和Pearson（皮爾遜）分别于1875年和1900年推導出來。

　　設置自由度為5，通過Python繪制出卡方分布的分布曲線圖。

　　from scipy.stats import chi2 # 卡方分布 df = 5 # 自由度 x = np.linspace(chi2.ppf(0.01, df), # 繪制概率密度圖 chi2.ppf(0.99, df), 100) plt.plot(x, chi2.pdf(x, df), alpha=0.6, label='chi2 pdf') plt.title(u'自由度為5時的卡方分布曲線圖',fontsize=12) plt.show()

　　增大自由度到20，通過Python繪制出卡方分布的分布曲線圖。

　　from scipy.stats import chi2 # 卡方分布 df = 100 # 自由度 x = np.linspace(chi2.ppf(0.01, df), # 繪制概率密度圖 chi2.ppf(0.99, df), 100) plt.plot(x, chi2.pdf(x, df), alpha=0.6, label='chi2 pdf') plt.title(u'自由度為20時的卡方分布曲線圖',fontsize=12) plt.show()

　　從上面可以看出，當自由度不斷增大時，卡方分布趨于正态分布。

　　t分布 t分布也稱學生氏分布，由Gosset（戈賽特）于1908年以Student（學生）為筆名發表的論文中首次提出。

　　說明：據說當時他還在都柏林的健力士釀酒廠工作，不能以他本人的名義發表。

　　設置自由度為5，通過Python繪制出t分布的分布曲線圖。

　　from scipy.stats import t df = 5 x = np.linspace(t.ppf(0.01, df), t.ppf(0.99, df), 100) plt.plot(x, t.pdf(x, df), alpha=0.6,label="t分布") plt.title('自由度為5時的t分布曲線圖', fontsize=12) mu=0 sigma=1 x=np.arange(-5,5,0.1) y=stats.norm.pdf(x,0,1) plt.plot(x,y,label="正态分布") plt.legend(loc="best") plt.show()

　　增大自由度到15，通過Python繪制出t分布的分布曲線圖。

　　from scipy.stats import t df = 15 x = np.linspace(t.ppf(0.01, df), t.ppf(0.99, df), 100) plt.plot(x, t.pdf(x, df), alpha=0.6,label="t分布") plt.title('自由度為15時的t分布曲線圖', fontsize=12) mu=0 sigma=1 x=np.arange(-5,5,0.1) y=stats.norm.pdf(x,0,1) plt.plot(x,y,label="正态分布") plt.legend(loc="best") plt.show()

　　從上面可以看出，當自由度不斷增大時，t分布趨于正态分布。

　　F分布 F分布由統計學家費希爾（Fisher）首先提出，并以其姓氏的第一個字母命名的，所以叫F分布。

　　F分布在方差分析、回歸分析的顯著性檢驗中有着重要的應用。

　　可以看到，F分布有兩個自由度，分别為第一自由度和第二自由度，而且它們的位置不可互換。

　　設置第一自由度為10，第二自由度為10，通過Python繪制出F分布的分布曲線圖。

　　from scipy.stats import f df1=10 df2=10 x = np.linspace(f.ppf(0.01,df1,df2), f.ppf(0.99,df1,df2), 1000) plt.plot(x, f.pdf(x,df1,df2), alpha=0.6) plt.title('第一自由度為10，第二自由度為10的F分布曲線圖', fontsize=12) plt.show()

　　增大自由度，第一自由度為100，第二自由度為100，通過Python繪制出F分布的概率密度曲線圖。

　　from scipy.stats import f df1=100 df2=100 x = np.linspace(f.ppf(0.01,df1,df2), f.ppf(0.99,df1,df2), 1000) plt.plot(x, f.pdf(x,df1,df2), alpha=0.6) plt.title('第一自由度為100，第二自由度為100的F分布曲線圖', fontsize=12) plt.show()

　　從上面可以看出，自由度會影響F分布的形态。

　　總結 正态分布是核心，其他三大分布：卡方分布、t分布、F分布均由正态分布導出。

　　關于抽樣分布，你有什麼看法呢？歡迎在評論區留言！

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