二．例題講解：

【例1】已知集合M={x|x=m ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：從判斷元素的共性與區别入手。

解答一：對于集合M：{x|x= ,m∈Z}；對于集合N：{x|x= ,n∈Z}

對于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1) 1和3p 1都表示被3除餘1的數，而6m 1表示被6除餘1的數，所以M N=P，故選B。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

點評：由于思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合 ， ，則（ B ）

A．M=N B．M N C．N M D．

解：

當 時，2k 1是奇數，k 2是整數，選B

【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數為

A）1 B）2 C）3 D）4

分析：确定集合A*B子集的個數，首先要确定元素的個數，然後再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那麼集合M的個數為

A）5個 B）6個 C）7個 D）8個

變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析 本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有 個 .

【例3】已知集合A={x|x2 px q=0},B={x|x2?4x r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1 r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2 px q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合A={x|x2 bx c=0},B={x|x2 mx 6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.

解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22 m?2 6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x 6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2 2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x 1)(x 2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化簡集合A，然後由A∪B和A∩B分别确定數軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

變式1：若A={x|x3 2x2-8x>0}，B={x|x2 ax b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

①當 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函數y=log2(ax2-2x 2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值範圍。

分析：先将原問題轉化為不等式ax2-2x 2>0在 有解，再利用參數分離求解。

解答：（1）若 ， 在 内有有解

令 當 時，

所以a>-4,所以a的取值範圍是

變式：若關于x的方程 有實根,求實數a的取值範圍。

解答：

點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類讨論，但并不是所有的問題都要讨論，怎樣可以避免讨論是我們思考此類問題的關鍵。