話題：#科學# #數學# #點集拓撲#

小石頭/編

想必大家對于 “稠” 這個概念并不陌生，在日常生活中，我們經常會用它來描述濃度高的溶液，例如：我們會說，一杯濃稠的咖啡。

當咖啡溶液足夠濃稠時，我們用任何放大倍率的顯微鏡，瞄準任何一個水分子，都會在鏡頭中看到咖啡分子，若，分别用 A 和 B 表示 咖啡 和 水，則有，

• 對于任意 x ∈ B 的任意 鄰域 U，都有 U ∩ A ≠ ∅；

稱 A 在 B 中 稠密。從這個定義中可以看出：

• 稠密就意味着，對于 任意一個水分子，都有任意逼近它的 咖啡分子存在；

這說明，

• B ⊆ A‾

這同時還說明（僅在 度量空間 中），

• 可以用 咖啡分子 序列 的極限，來 指向 每一個水分子（就像續篇中 用手指指向 蘋果上的蟲眼一樣）；

數學上，大家最熟悉的例子就是：

• 有理數集 ℚ 在 實數集 ℝ 中 稠密，

于是我們可以用 有理數序列的極限，來表示 任何 實數（包括 無理數），例如，

• 0.999... = 0.9, 0,99, 0.999, ... → 1
• 0.499... = 0.4, 0.49, 0.499, ... → 1/2
• 1.4142... = 1.1, 1.41, 1.414, 1.4142, ... → √2
• 3.1415... = 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... → π

這就是 大家熟悉的 無限小數。

注：人類最早認為 稠密和完備是一回事，即，數都是有理數，後來無理數的發現，才将兩個概念分開。

上例中，将水 B 換成 整個咖啡溶液 X = A ∩ B，則 A 依然在 X 中 稠密，這時由于 A ⊆ X，稱 A 是 X 的 稠密子集。顯然，ℚ 是 ℝ 的 稠密子集。

有 “稠密” 就有 “稀疏” ，當咖啡溶液足夠稀薄時，則 其的每個局部，咖啡都是不濃稠的，也就是說，咖啡在 咖啡溶液 裡 沒有一處是稠密的（無處稠密），即，

• 對于任意非空 V ⊆ X，A 在 V 中 不稠密（這裡，須保證 V 不能是 A 中的封閉點集，所以 我們要求 V 是 開集）；

稱 A 是 疏集 （或 疏朗集）。可以證明：

• A 是疏集 當且僅當 (A‾)° = ∅

注：有些教程，直接将這個性質作為 疏集 的定義，于是就會有學生問：

為啥定義不是 A° = ∅ 呢？

這時，可以舉ℚ的例子：

雖然 ℚ° = ∅，但是 ℚ 在 ℝ 是稠密的 并不 稀疏呀！實際上 (ℚ‾)° = ℝ°=ℝ≠∅，所以 ℝ 不是疏集。

進一步，可數個疏集的并，稱為 第一綱集，非第一綱集的集合，稱為 第二綱集。如果一個性質P滿足僅僅滿足第一綱集，則P是稀有的，否則P具有普遍性。

有了 稠密 和 疏朗 的概念後，我們就更容易 看清 正文中 點集 各種操作了，

同時也不難總結出，

• A°=((Aᶜ)‾)ᶜ, A‾=((Aᶜ)°)ᶜ
• (A°)°=A°, (A‾)‾=A
• A°⊆A⊆A‾
• A⊆B ⇒ A°⊆B°, A‾⊆B‾
• (A∩B)° = A°∩B°, (A∪B)‾ = A‾∪B‾

續篇中我們說過：由于 拓撲空間 沒有 引入距離，因此 度量空間 中 那些 依賴 距離 的良好性質，拓撲空間 都不具備；例如：序列極限（及相關概念——完備性）。

不過，硬要在拓撲空間 中定義 序列極限，也不是不行，為此可以利用 鄰域，将度量空間中 序列極限 的定義 改造如下，

• 對于 a 的任何鄰域 U，都存在正整數 N，使得 子序列 {aN 1, aN 2, aN 3, ...} ⊆ U；

則稱 a 是 序列 {a₁, a₂, a₃, ...} 的 極限。由于 鄰域 無法表示 無限逼近 之意，所以 這裡的極限 和 度量空間中的極限，差異很大，例如：這裡 就無法保證 極限的唯一性。①

另外，我們知道 度量空間 中 極限 和 連續性 是 關聯的，即有，

• 函數 f(x) 在 a 點連續，當且僅當，任取 以 a 為極限的 序列 {a₁, a₂, a₃, ...} ，在 f 的映射下的序列 {f(a₁), f(a₂), f(a₃), ...} 都以 f(a) 為極限；②

但是 度量空間 中 ，我們無法保證這一點。準确的說，⇒ 沒問題，而 ⇐ 不行。後者的問題是出在，拓撲空間對于鄰域結構完全沒有約束。如果，我們能保證，a 點 有如下的鄰域塔，

• U₁ ⊃ U₂ ⊃ U₃ ⊃ ...

向 a 點逼近，則由下圖可以證明 ⇐了。

為此，可以從 a 的鄰域中挑選一些鄰域組成 ℬ，條件是：

• 對于 任何 a 的鄰域 V 都存在 ℬ 中的 鄰域 U，使得 U ⊆ V；

稱 ℬ 為 a 的 鄰域基。然後，從 ℬ 任意取出（指有删除的取出）來一個 鄰域 V 作為 鄰域塔 的 U₁ ；

• 從 ℬ 中任意取出來一個 鄰域 V，和 塔頂 U 比較：
• 若 U ∩ V = ∅ 或 U ⊆ V，則 舍棄 V；
• 若 U ⊃ V ，則 将 V 添加到塔頂；
• 若 以上都不滿足，則 U ∩ V 是 a 的鄰域，根據 鄰域基 的定義，可在 ℬ 中 取出 一個 V' ⊆ U ∩ V 添加到塔頂；

不斷重複 這一步，就可以從 其中 得到 一個 鄰域塔。

為了能讓該鄰域塔，就a的所有鄰域來看，是向 a 點逼近的，我們還必須保證 該鄰域塔 是 a 的一個 鄰域基。為此，ℬ 就必須是 可數的，這樣 上面的 遞歸構造過程，才能 窮盡 ℬ。

以上分析說明，隻要，

• 拓撲空間中的任意點 都存在 可數的 鄰域基；

就可以保證 ②。上面條件 就是 第一可數。

受到 鄰域基 啟發，我們也可以 在 X 中 找到 一些子集 組成 ℬ，令，

• τ(ℬ) = {∪ℰ | ∀ ℰ ⊆ ℬ }

可以證明若 ℬ 滿足：

• ∪ℬ = X；
• 若 A, B ∈ ℬ 則 存在 ∃ C ∈ ℬ 使得 C ⊆ A ∩ B；

則 τ(ℬ) 是 X 的一個拓撲，此時 稱 ℬ 是 τ(ℬ) 的一個 拓撲基。若，

• 拓撲空間的拓撲存在一個可數的 拓撲基；

就是 第二可數。

與可數相關的概念還有，若，

• 拓撲空間 中存在 可數的 稠密子集；

就是 可分。

可以證明，以上三種不同 可數的 拓撲空間 和 度量空間之間的關系如下圖：

從上圖可以看出，

• 度量空間 是 第一可數的 拓撲空間；
• 可分的度量空間 是 第二可數的 拓撲空間；

那麼，什麼情況下，拓撲空間 是 度量空間呢？

回頭看，上面的讨論，可數性隻是解決 ② 的問題，而 ① 依然存在！這裡的原因是，對于 度量空間中 的任意兩個 點 ，總能找到分别以 它們為 焦點的 顯微鏡頭，彼此不可見，即，

• T₂： 對于 任意兩個不同點 a, b，都存在 開集 U, V ，使得 a ∈ U, b ∈ V, U ∩ V = ∅；

但是 拓撲空間 不一定滿足。稱 滿足 T₂ 的 拓撲空間 為 Hausdoff 空間 。

将 T₂ 定義中的 兩個點 ，都替換為 閉集，就是 ，

• T₄ : 對于 任意兩個不相交的 閉集 A, B，都存在 開集 U, V ，使得 A ⊆ U, B ⊆ V, U ∩ V = ∅；

度量空間 同樣滿足 T₄，拓撲空間 不一定。而 稱 滿足 T₄ 的 拓撲空間 為 正規的 。

注：隻有在 單點集 是 閉集 的條件下，T₄ 才一定是 T₂；

顯然，

• 度量空間 一定是 正規 Hausdoff 空間；

反過來，可以證明，

• 第二可數的 拓撲空間 是 度量空間 當且僅當 是 正規 Hausdoff 空間；③

這就是 著名的 Uryshon 度量化定理。（這個定理的證明非常美妙，當年小石頭學到這裡的時候，被其思路深深的震撼！）

後來，又有數學家，将 ③ 中條件，

• 第二可數：有可數的 拓撲基；

• 正規 Hausdoff 空間

進一步弱化如下：

• 有 δ-局部有限的 拓撲基；

• 正則 Hausdoff 空間；

其中，

δ-局部有限 指：可數個 局部有限 點集族 的并；

點集族 指：由點集組成的集合；

局部有限 指：對于 空間中 任意 點 ，都存在鄰域隻與 點集族 中有限個 點集 相交；

将 T₂ 定義中的 一個點 ，替換為 閉集，就是 T₃，滿足 T₃ 的 拓撲空間 就是 正則的。

本篇後半段幹的事情，本質上，都是在 給拓撲空間中 添加特性，讓 其極限 更接近 度量空間的極限，然而 拓撲空間 的 極限 必經與 度量空間 不同，因此就一定具有 獨特的 收斂特性。可是，上面的極限定義，僅僅是從 度量空間 來的粗暴移植，其未必能完全體現 拓撲空間的 收斂特性，于是這就要求 有更好的定義，這就是——網 和 濾子。由于本系列，注意是将 點 和 空間的 關系，不想過多的 深入 極限的話題，于是 就不 展開 讨論 網 和 濾子 了。有時間，小石頭 會 從新 寫 關于 極限的 系列 文章，進行 詳細讨論。

（由于，拓撲空間的 引入，從本篇開始，很多東西 都是 反直覺的，大家切不可以 固執于 現實世界 中的 直覺思維！）