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定積分與被積函數比大小
定積分與被積函數比大小
更新时间:2025-07-11 17:45:58

定積分:積分的一種,是函數f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。

與不定積分的區别:定積分是一個确定的數值,而不定積分是一個函數表達式,它們兩者僅僅隻存在牛頓-萊布尼茲公式的數學關系,其它什麼關系都沒有,要特别注意!

正如定積分的概念所說,x的範圍是在區間[a,b]上,然後求一個極限,我們今天要做的事比較定積分的大小。

定積分與被積函數比大小(比較定積分的大小)1

圖一

如圖所示,已知三個關于定積分的式子,比較一下這三個定積分的大小,當我們拿到比較大小的時候,最好能夠将三個式子和一個共同的式子比較大小,或者将其中的一個式子解出來,讓那個另外兩個式子和該式子比較大小,也就是比較被積函數的大小,最後得出結果。

M、N、K三個式子的區間都在[-2/π,2/π]之間。

我們先來看M,對于M這個式子而言,共有的是1 x^2,因此我們将分子化開,将公共部分約調,根據1的反函數是x,2x/(1 x^2)的反函數是ln(1 x^2)最後得到M的結果為π,所以可以得到M即為求函數1在[-2/π,2/π]的極限和。

再來看N,由于1 x<e^x,可以得到該式子的極限和小于1,說明N<M。

最後來看K,由于1 根号cosx>1,可以得到該式子的極限和大于1,說明K>M。

得到:K>M>N。

給出解決步驟:

定積分與被積函數比大小(比較定積分的大小)2

圖二

總結:同一區間上定積分大小比較最常用的思想就是比較被積函數的大小。

注意點:同一區間、被積函數的大小。

再給出一道例題:

定積分與被積函數比大小(比較定積分的大小)3

圖三

對于這道例題而言,就更加簡單了,lnx是已知在正區間上是單調遞增的,那麼比較一下sinx、cotx和cosx的大小,可以知道在[0,π/4]區間上0<sinx<cosx<1<cotx,即可得到I<K<J。

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