從小學的自然數到初中的有理數進行了第一次數的擴充。數的擴充是生活的需要，為了記錄相反意義的量，引入了負數。負數的引入使生活中實際問題的解決大為便利。

北師大版數學七年級上冊第23頁的引例和24頁的例題等，都說明了引入負數使得實際問題的解決大為簡便。這樣就将自然數擴充到了有理數。同學們可以閱讀一下北師大版七年級上冊25頁的《負數小史》（因為我們這裡都用北師大版的數學教材，所以我在此都以北師大版教材為例）。

在學習了有理數之後，同學們要注意有兩個角度描述有理數：一個是從整數和分數的角度，另外一個是從正數、零和負數的角度，描述有理數。實質是一樣的，隻是描述的角度不同而已。

數學家們為了更形象的研究和描述有理數，引入了數軸。數軸是進一步研究數學的基礎，數軸可以說是從一維的角度研究數。而以後要從二維角度研究平面問題，就有了平面直角坐标系，它也是我們研究函數的基礎。如果有同學到大學裡學習空間解析幾何，就是在三維空間裡研究的，是由三個互相垂直的數軸，建立了空間直角坐标系。而這些的基礎都是數軸，由此可見數軸的重要性。

引入數軸後，我們又學習了一個重要的概念：絕對值。大家一定要對絕對值引起重視，因為它是我們學習有理數運算法則的關鍵。絕對值的引入是為了在有理數範圍内進行計算，引出運算法則。可以說每一個知識點，都是為了後續的知識做鋪墊，但每一個知識點本身的也有實際意義。

有了絕對值的概念，我們就可以定義有理數的加、減、乘、除、乘方等運算法則。我們在這裡回憶一下這些法則，看看新舊知識之間的聯系，以及什麼是聯系它們的紐帶。

有理數加法法則：同号兩數相加取相同的符号，并把絕對值相加；異号兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時取絕對值較大的數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數同零相加仍得這個數。我們看到，加法法則與小學學過的加法相比，隻多了一步：判斷符号。先根據絕對值判斷和的符号，然後再進行絕對值的計算。而絕對值（非負數）計算，就是小學知識了。

有理數的減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。在這裡，我們首先要知道什麼是相反數：如果兩個數隻有符号不同，那麼稱其中一個數為另外一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數。特别的，0的相反數是0。

而絕對值的概念：在數軸上一個數所對應的點，與原點的距離叫做這個數的絕對值。例如， 2的絕對值等于2，—3的絕對值等于3。我們還知道：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0。這裡面還有兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

有理數的乘法法則：兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘；任何數與零相乘，積仍為0。

有理數的除法法則：兩個有理數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除；零除以任何非零數都得0。注意，零不能做除數。

有理數的混合運算法則：先算乘方，再算乘除，最後算加減，如果有括号，先算括号裡面的。

可見，判斷符号和絕對值運算是有理數運算的關鍵，有了絕對值的概念，新的知識就轉化為舊知識了。所以有理數的運算問題，比起自然數運算，隻多了一個判斷符号，然後根據運算法則，根據每個參與運算的因數的絕對值的大小或者因數的正負，判斷出運算符号，然後就轉化為小學的正數和0的運算。所以小升初的同學，隻要弄明白自然數運算，弄明白絕對值的概念，理解并記住運算法則，那麼所有的新知識就轉化為舊知識。

每一個有理數都能在數軸上找到一個點和它對應，但反過來，數軸上的每一個點，卻不一定對應的是有理數。比如，邊長為1的正方形，它的對角線長就是根号2，而這個根号2，就不是有理數。因為根号2是無限不循環小數。

我們可以在數軸上找到根号2對應的這個點。這就說明數軸上的點，并不是和有理數有一一對應的關系，也就是說數軸上的點，有的數不是有理數，像根号2，根号3，根号5等等，那麼這些數我們把它稱為無理數。無理數的概念是怎樣定義的呢？無限不循環小數稱為無理數。像我們以前學的，圓周率就是一個無理數。

我們把數從有理數又擴充到無理數，那麼有理數和無理數，統稱為實數。初中階段就學習兩類數：有理數和實數（有理數集是實數集的子集）。這樣數軸上的點，就和實數有了一一對應的關系。數的發展遠遠不止于此，以後同學們如果到了高中，還會學到複數。

在初中階段數的運算重點還是熟練進行有理數的運算以及應用，（二次根式内容下次講）絕對值在這裡起了一個關鍵的作用。我們如果理解了絕對值，會利用運算法則進行運算，那麼我們現在學習有理數的所有運算就轉化為通過運算法則，先判斷符号，然後轉變成絕對值的運算。而絕對值就是正數和0，這樣，有理數的運算，就轉化為正數和零的運算，隻是多了一步判斷符号。