一說起圓周率π，很多人就想到祖沖之老爺子的割圓術。

說實話，祖大人也挺無奈的，從我們小學就開始割圓，一直割到大學還在割。

但割圓術隻适合手算，如何用電腦算π呢？

泰勒展開在科學計算中簡直有着匪夷所思的變态威力。

之前我有一篇文章泰勒為何要展開？ 泰勒公式有什麼神奇作用？介紹了什麼是泰勒展開，它可以把複雜函數轉換成加減乘除，比如sinx：

之所以要展開，是因為通用計算機本質上隻能計算加減乘除。

首先想到的思路就是，反三角函數，根據定義有：

那麼，接下來的問題就是，

如何計算arctan(1)

有人說，直接調用C語言庫函數atan(double,double)不就行了。

确實，這可以完成計算，然而，這是一種令人不齒的開挂行為，就好像我問怎麼跑完馬拉松，你說你開車一溜煙就跑完了一樣。

庫函數是别人寫好的，我們現在是思索如何實現計算，而不是考慮如何調用。

至此，我們隻好請出祖傳配方，把arctan(x)進行泰勒展開：

然後，令x = 1，得到：

格雷戈裡-萊布尼茨公式

它被稱為萊布尼茨級數，也被稱為格雷戈裡-萊布尼茨級數，用以紀念萊布尼茨同時代的天文學家兼數學家詹姆斯·格雷戈裡。

看起來很吊是不是······

但是啊但是，還不夠吊，因為問題還沒完：

這個級數收斂極慢。

比如，算到 4/9，也就是前五項，結果僅為3.3396，誤差有0.2之多。

它要到算500000項之後，才會精确到小數點後五位：

就算電腦也算得太累了。

何況萊布尼茲（1646年7月1日－1716年11月14日）當年是沒有電腦的！

加快收斂

于是，人們嘗試改進，希望能快點計算。

英國數學家梅欽在1706年用上面的級數，發掘了一個可以快速收斂的公式：

配合上面arctan(x)泰勒展開，梅欽依據此公式（沒有電腦），把圓周率計算到小數點後一百多位。

英國數學家威廉·謝克斯花15年的時間以此計算到小數點後707位，不過在第528位時出錯，因此後面的都不正确了。

微微杯具就是了。

神奇公式

現代有了電腦，我們希望更快的收斂速度，因此科學家在尋找新的級數。

曆史總是留給吊人的，也總是會生産一些吊人的。

比如：

拉馬努金公式

這玩意被稱為拉馬努金公式，是印度科學家拉馬努金發明的。

第一位用拉馬努金公式計算π并取得進展的是比爾·高斯珀，他在1985年計算了小數點後一千七百萬位。

收斂再快一點？還有楚德諾夫斯基公式：

楚德諾夫斯基公式

楚德諾夫斯基兄弟于1989年算得π小數點後10億（10⁹）位，法布裡斯·貝拉于2009年算得2.7千億（2.7×10¹²）位，亞曆山大·易和近藤滋在2011年算得一萬億（10¹³）位。

意不意外，驚不驚喜，

無不無聊······

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