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n個自然數的平方和公式推導
n個自然數的平方和公式推導
更新时间:2025-07-27 05:59:05

我們都知道歐拉解決了自然數平方的倒數之和,這個公式将自然數和π巧妙的聯系在了一起,關于它的證明非常多,我們就不在此作任何的叙述了,但這個公式隐含的許多數學方法值得我們去探讨下

在你不知道歐拉得出這個結論前,你是否能斷定這個級數是趨于一個常數值呢?也就是數學中所說的收斂

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)1

首先,自然數平方倒數和的形式是

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)2

我們把它拆開,将平方寫成乘積的形式,藍色部分所示

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)3

然後将藍色部分統一向後移一位,最終如下圖紅色部分顯示

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)4

然後做比較,如下圖藍色顯示:1/2<1,

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)5

藍色顯示:1/3<1/2,

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)6

所以我們得到第一行小于第二行

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)7

繼續進行,你會發現上述的紅色級數部分可以寫成兩個數之差

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)8

即:1/2=1-1/2,1/2*1/3=1/2-1/3........

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)9

那麼上述的前四項就等于2-1/4

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)10

同理,如果是前100項就等于2-1/100

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)11

如果n是無窮大,那麼其結果就等于2

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)12

所以在你不知道歐拉的推導結果前,你可以很容易得出任意自然數平方的倒數之和是趨于一個常數的,

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)13

其結果是小于2的,這與歐拉推導出的結果完全吻合。

n個自然數的平方和公式推導(自然數平方的倒數之和)14

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