n個自然數的平方和公式推導-tft每日頭條

我們都知道歐拉解決了自然數平方的倒數之和，這個公式将自然數和π巧妙的聯系在了一起，關于它的證明非常多，我們就不在此作任何的叙述了，但這個公式隐含的許多數學方法值得我們去探讨下

在你不知道歐拉得出這個結論前，你是否能斷定這個級數是趨于一個常數值呢？也就是數學中所說的收斂

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）1

首先，自然數平方倒數和的形式是

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）2

我們把它拆開，将平方寫成乘積的形式，藍色部分所示

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）3

然後将藍色部分統一向後移一位，最終如下圖紅色部分顯示

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）4

然後做比較，如下圖藍色顯示：1/2<1，

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）5

藍色顯示：1/3<1/2，

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）6

所以我們得到第一行小于第二行

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）7

繼續進行，你會發現上述的紅色級數部分可以寫成兩個數之差

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）8

即：1/2=1-1/2，1/2*1/3=1/2-1/3........

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）9

那麼上述的前四項就等于2-1/4

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）10

同理，如果是前100項就等于2-1/100

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）11

如果n是無窮大，那麼其結果就等于2

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）12

所以在你不知道歐拉的推導結果前，你可以很容易得出任意自然數平方的倒數之和是趨于一個常數的，

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）13

其結果是小于2的，這與歐拉推導出的結果完全吻合。

n個自然數的平方和公式推導（自然數平方的倒數之和）14