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運籌學所用的主要數學思想
運籌學所用的主要數學思想
更新时间:2025-05-19 01:43:19

在中國的古代已經有運籌學思想。敵我雙方交戰,需要主将、統帥能夠在充分了解雙方基礎狀況的情況下,找到克敵制勝的方法,正所謂“運籌帷幄之中,決勝千裡之外”。雖然運籌學的思想由來已久,但作為一門應用數學學科,用純數學的方法來确定解決問題的最優方法,卻是興起于二次大戰的硝煙中。

運籌學主要研究經濟、軍事活動中那些能用數量來表達的有關策劃、管理方面的問題。根據問題的要求,将生産、管理等事件中遇到的一些帶有普遍性的運籌問題加以提煉,得到模型,然後利用數學理論、方法進行數學上的分析、運算,找到最合理安排或策劃方案。面對實際中千差萬别的問題,一般采用4個步驟:确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。

運籌學所用的主要數學思想(運籌學運籌帷幄)1

在運籌學方法的廣泛使用以及迅猛發展過程中,形成了豐富的抽象模型,并進一步廣泛應用于科學技術、生産實踐中,已不再局限于軍事和經濟領域。到目前為止,運籌學的應用已滲透到諸如服務、庫存、搜索、人口、對抗、控制、時間表、資源分配、廠址定位、能源、設計、生産、可靠性等各個方面。因此發展出多個分支:包含線性規劃、非線性規劃、整數規劃、組合規劃等在内的數學規劃;圖論;網絡流;決策分析;排隊論;可靠性數學理論;庫存論;對策論;搜索論等等。

運籌學所用的主要數學思想(運籌學運籌帷幄)2

數學規劃

數學規劃要解決的主要問題是在給定條件下,按某一衡量指标來尋找計劃管理工作中有關安排和估值的最優方案。該問題可表述為求函數在約束條件下的極值問題,但又不同于具有簡單表達式、簡單約束的古典的求極值問題,數學規劃中的問題目标函數和約束條件往往都很複雜,而且對解答有着一定精确度的要求,這使得算法的研究倍受重視。

運籌學所用的主要數學思想(運籌學運籌帷幄)3

最簡單的數學規劃問題就是線性規劃,它的約束條件和目标函數都是呈線性的。而線性規劃問題的解決,将通過行列式、矩陣等線性代數的知識,轉化為線性方程組的求解問題。線性規劃及其單純形解法的出現,大大促進了運籌學的發展。大量的實際問題轉化為線性規劃,借助計算機通過單純形法,使求解一些大型複雜的實際問題成為現實。

面對諸如設計問題、經濟平衡問題等大量的實際問題,在線性規劃的基礎上進一步發展出非線性規劃,從而擴大了數學規劃的應用範圍,也使得數學工作者發展了包括凸分析、數值分析在内的許多基本理論。

近年來,工程、通訊中與時間有關的最佳控制問題,催生了“動态規劃”,并廣泛使用。

排隊論

在20世紀初,由丹麥工程師艾爾郎對電話交換機效率的研究開始,經過在二次世界大戰中對飛機場跑道容納量的估算,排隊論得到進一步發展,其相應的學科更新論、可靠性理論等也随之發展起來。現在的排隊論,廣泛應用于水庫水量的調節、生産流水線的安排,鐵路分成場的調度、電網的設計等生産實踐活動中。

運籌學所用的主要數學思想(運籌學運籌帷幄)4

排隊論又叫做随機服務系統理論,其目的是改進服務機構或組織被服務的對象,使得某種指标達到最優。因為排隊現象是随機現象,因此采用概率論作為主要研究工具,通過微分方程對現象進行描述。排隊論可形象的描述為:顧客來到服務台前要求接待;如果服務台已經被其它顧客占用,那麼就需要排隊;服務台隻有空閑、忙碌兩種狀态,需要通過數學方法求得顧客的等待時間、排隊長度等的概率分布。

博弈論

對策論也叫博弈論,其發展曆史也隻有短短的幾十年。最初的博弈論開始于通過數學方法尋找國際象棋取勝的算法問題,由于博弈論研究的是雙方沖突、制勝對策問題,所以被應用于軍事領域。近年來,數學家對水雷和艦艇、殲擊機和轟炸機之間的作戰、追蹤等問題進行了研究,提出了追逃雙方都能自主決策的數學理論。随着人工智能的進一步發展,博弈論有了更多新的要求。

運籌學所用的主要數學思想(運籌學運籌帷幄)5

搜索論

基于二次世界大戰的戰争需要,同盟國的空軍和海軍在研究如何針對軸心國的潛艇活動、艦隊運輸和兵力部署等進行甄别的過程中産生了搜索論。在資源和探測手段受限的情況下,設計尋找某目标的最優方案,并加以實施的理論和方法就是搜索論的範疇。

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