一階線性非齊次微分方程解的性質-tft每日頭條

我們知道，形容y' P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程。

當Q(x)=0時，則該方程變為一階齊次線性微分方程。

當Q(x)不等于0時，該方程就叫做一階非齊次線性微分方程。

至于一階齊次線性微分方程和一階非齊次線性微分方程的通解，我們進行記憶即可。

話不多說，我們來看一道實際例題。

一階線性非齊次微分方程解的性質（一階非齊次線性微分方程）1

圖一

如圖所示，這道題正好給出了一個一階非齊次線性微分方程，讓我們來求通解。

我們先來分析一下題目，題目中給出的y' y=f(x)就是一個微分方程，f(x)是R上的連續函數，這裡涉及到連續函數的定義，函數y=f(x)當自變量的x變化很小的時候，引起的因變量y的變化也很小，這裡給出在整個實數域上都是連續的，也就是當x趨向于0時，f(x)也趨向于0.

我之前說過，對于兩個方程的通解公式進行記憶即可，接下來我給出第一題的解決方案。

一階線性非齊次微分方程解的性質（一階非齊次線性微分方程）2

圖二

如圖所示，正如我圖中所講的那樣，兩個公式記憶再代入，那就很快能夠解決這道題目的第一小題，接下來是第二小題的證明題。

一階線性非齊次微分方程解的性質（一階非齊次線性微分方程）3

圖三

如圖所示，這道題時讓我們證明如果f(x)是周期為T的函數，我們就可以先設y(x)是方程的任意解，因為f(x)的周期是T，那就意味着f(x T)=f(x)，然後再一步步來解答，這道題就可以很快的證明出來方程存在唯一的以T為周期的解。