無窮也分大小

自然數和偶數一樣多

今天，在吃飯的時候8歲表妹問到超模君，什麼數是最大的呢？

咳咳（假裝潤喉），看來前幾天學的有關無窮大的知識終于能用（zhuang）上（bi）了。

在原始人時期，人們數數最多數到 3 ，因為對他們來說 3 之後就是很大很大的數字。也就是說，假如原始人玩數最大的遊戲，誰先從 1 開始數，誰就能獲勝。

後來一直到了古希臘時期，一位哲學家——亞裡士多德首先提出了無窮這一想法，也就是表妹說的“無數”，之後才有了無窮大這個概念。

亞裡士多德

答案是：自然數和偶數一樣多！

怎麼說？

首先我們想象一下，把奇數寫在上面，偶數寫在下面。再把奇數1拿上去，偶數2拿下來，以此類推，隻要這樣進行下去，哪方拿出一個數以後，另一方拿不出數，那麼當然就是最後拿出數字的那一方數比較大。

可是拿出奇數或者偶數這個動作可以做多少次呢？

我們會發現，是無窮次，所以這樣對比是沒有意義滴！

康托爾是這麼認為的（敲黑闆）。按照上圖的方法可以看出，奇數和偶數是存在無數對一一對應，這就說明，偶數和奇數的個數是一樣的。

這種方法也叫做無窮大數算數。

現代集合論奠基人—康托爾

但是這還沒有完，按照正常人的想法，自然數包括奇數和偶數，總體大于部分，那自然數肯定大于偶數呀。

先别急，我們換種方式思考下，繼續用上面的方法.

把基數一行換成自然數（n），把偶數行換成對應自然數的倍數（2n），我們會發現，這樣自然數和偶數也是一一對應的，也是是說偶數數量和自然數數量是一樣多，這在現代集合論中，稱之為等勢。

通常來說在集合理論中，如果兩個無窮大相等，就叫做等勢，也叫有相同的基數（不是奇數哦），基數簡單來說就是無窮集合中的元素個數。

剛剛我們說過的自然數與偶數就是等勢。同理，隻要把對應自然數的2倍減1（2n-1）就可以發現奇數和自然數也是一一對應，所以奇數和自然數也是等勢。

我們首先把兩條線段其中一端相連，構成一個三角形，然後畫一條和底線平行的虛線。

然後你會發現，虛線經過線段A截出點C，同時就可以在線段B上戳出點C'，這兩個點就是一一對應的關系，所以這樣看，線段A、B上點的個數是一樣的。

我們再看看線段和平面，取長度為 1 的線段和邊長為 1 的正方形。正方形上任意一個點都會有坐标，比如（0.56,0.89），在線段上我們上就可以表示為0.5689，它們還是一一對應。

同理線段和立方體也是一樣，即同為等勢。

由于「直線上的點」不僅有自然數還有無理數，所以無法在自然數中找到「直線中全部的點」，但是自然數都可以在「直線的點」裡找到。

顯而易見，直線和自然數不是等勢的，且直線的勢大于自然數的勢。

我們設自然數集和線段的點集分别為第一，第二級勢，那麼隻要找到比他更大的勢的就可以啦！

舉個列子，曲線上的點集就是比線段上的點集還要大的勢。曲線上的點在線段上無法找到全部的點一一對應，所以說曲線上的點比線段上的點要大。

表妹非常激動地留了眼淚，心裡默默想着：我要回去找我朋友炫（zhuang）耀（bi）了！！