2022考研數學三泰勒級數-tft每日頭條

2022考研數學三泰勒級數?數項級數其實就是在研究一個問題，無窮多個數相加是否有結果，下面我們就來聊聊關于2022考研數學三泰勒級數?接下來我們就一起去了解一下吧!

2022考研數學三泰勒級數

數項級數其實就是在研究一個問題，無窮多個數相加是否有結果。

是一個數列，我們将中的元素全都都加起來，把稱為級數，我們把級數簡記為或∑。

如果一個級數=能算出一個結果，我們就說這個級數收斂；如果這個級數不能算出一個結果，我們就說這個級數發散。

我們令=，則

、、…、、…

從而，級數收斂，就相當于數列收斂。

進而，我們讓=，此時=

在這裡我們把= 叫做級數的第n個部分和，簡稱部分和。=

我們現在已經通過級數的部分和将級數的收斂與數列的收斂聯系在了一起，那麼隻要能夠證明部分和數列收斂就能證明級數收斂。

于是，我們可以根據數列收斂的柯西準則來推導出級數收斂的柯西準則。

數列收斂的柯西準則為：數列收斂對于任意大于0的數 ε，總是存在一個正整數N，當n,m＞N且m＜n時，我們可以得到這樣一個式子＜ε。

由于=,所以

==＜ε

因此，我們可以得到數項級數收斂的柯西準則為

級數收斂對于任意大于0的數 ε，總是存在一個正整數N，當n＞N時，

對于任意一個正整數p，這個式子成立，＜ε。

我們現在可以思考一個問題：我們将級數= 中的加數拆分成數列，如果≠0，那麼級數還有可能收斂嗎？

我們假設在級數中 ≠0，根據數列不收斂的定義我們可以得到，

存在一個大于零的數，對于任意的正整數n，下面這個式子都成立，≥

即， ≥

因此，我們把 ≥ 帶到級數收斂的柯西準則中，就會産生這樣的結果，

≥=

再根據ε的任意性，我們可以得到 ≥ ≥ε

所以，此時級數不再滿足級數收斂的柯西準則，也就意味着該級數不收斂。

因此，一個級數如果想收斂，那麼前提條件必須是=0。

下面我們來看一道題：調和級數是否收斂？

根據分析我們可以得到調和級數的=

由于==0,所以調和級數有可能收斂。

而當n趨近于無窮大時，對于任意的正整數p，

當p=n時，

≥

進而， ≥ 不滿足數項級數收斂的柯西準則。

所以，調和級數發散。

下一期我們講一下判斷數項級數收斂的方法。