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樣本均值和樣本方差的常用性質

更新时间：2026-01-27 14:39:05

樣本均值和樣本方差的常用性質（小知識之如何用分層抽樣的方差估計樣本總量的方差）1

有高一的學生問了這個問題，已知由分層抽樣得來的樣本總量，且已知各分層樣本的平均數和方差如何求樣本總量的平均數和方差，題目如下：

樣本均值和樣本方差的常用性質（小知識之如何用分層抽樣的方差估計樣本總量的方差）2

第一問計算樣本總量的平均數很容易想到，第二問根據兩層的方差和總體的平均數如何求樣本總體的方差，這個公式是怎麼推導的，先給出答案：

樣本均值和樣本方差的常用性質（小知識之如何用分層抽樣的方差估計樣本總量的方差）3

樣本均值和樣本方差的常用性質（小知識之如何用分層抽樣的方差估計樣本總量的方差）4

第二問樣本總體方差的計算公式推導過程如下，推導的關鍵在于下面紅框中的部分，這樣拆分是為了用已知的分層方差來替代。

樣本均值和樣本方差的常用性質（小知識之如何用分層抽樣的方差估計樣本總量的方差）5

樣本均值和樣本方差的常用性質（小知識之如何用分層抽樣的方差估計樣本總量的方差）6

由上可知，用分層抽樣的平均數計算總體的平均數時可以直接加權平均，但根據分層樣本的方差計算樣本總體的方差并不是單純的加權就可以，另外樣本總體的方差和數據整體的方差又是兩個不同的概念，可用樣本總體方差來估計整體的方差，這點高中階段不需要掌握，知道如何推導樣本總體方差的計算公式即可。

樣本均值和樣本方差的常用性質（小知識之如何用分層抽樣的方差估計樣本總量的方差）7

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