作者 | 劉瑞祥

來源 |《數學賞析》

《幾何原本》第十卷涉及不可公度量，現有版本一共115個命題，差不多是全書1/4的命題量，又因為原著沒有采用現代數學通用的表達式，而是通過文字叙述的，所以給讀者理解這一卷造成很大難點。本文就是對其中的部分概念進行小結，希望能幫助大家理解。

其實，這一卷開始的一些命題還是容易理解的，但自從出現有理面、中項面等概念後，就越來越不容易理解了，而且原著裡的“有理線段”和現代的有理數也不一樣，都給我們理解這一卷帶來了難度。另一方面，這一卷和其它各卷還有一個區别，那就是所涉及到的部分定義是分布在許多命題當中的，并沒有統一放在一起，這也使我們不容易對比各個定義之間的區别和聯系。

在正式開始下面的内容之前還有一個問題需要強調，我們說一個線段是有理還是無理的，都是要針對一定的标準來說的。用一個簡單的例子來說，你如果選擇正方形邊長作為長度标準，那麼它的對角線就是現代意義上的無理數，可如果反過來用正方形的對角線為标準，那邊長就是現代的無理數了。本文的讨論，都假設已經選好了标準（或者說是單位），這個标準如果用算術語言來說，那就是以1為标準。

一、名詞解釋

要理解原著中的各個複雜的定義，先要理解下面這些名詞，請注意，下面所說的正有理數就是現代數學意義上的正有理數，但有理線和現代的正有理數不同。

有理線：正有理數開二次方的結果，這個結果可能是一個正有理數，比如4開方後為2，也可能還保留根号，如2開方後得根号2；

有理面：正有理數；

中項線：正有理數開四次方的結果，保留四次根号，如四次根号2；

中項面：有理數開平方的結果，保留根号，如根号2；

僅正方可公度：二者本身不可公度，但平方後可公度，如1和根号2、根号3中的任意兩個。

表1

其中有理線是有理面的算術平方根，中項線是中項面的算術平方根。

二、各級二項式定義

設二項線可以表示為

，這兩部分僅正方可公度，下表中的符号︵表示可公度（為下面讨論的方便起見，我們約定a>b）。餘線僅是将加号改為減号。

表2

命題X.48~X.53和X.85~X.90分别做出各級的二項線和餘線。

下面給出了二項線和餘線的一些例子，表中的一～六是二項線和餘線的級，即“一”表示第一二項線或第一餘線，“二”表示第二二項線或第二餘線，等等。

表3

三、雙中項線舉例

雙中項線有兩種，即第一雙中項線和第二雙中項線，根據其定義(X.37、X.38)可以給出下面的例子，這裡的共同點是，其中一個被開方數是另一個被開方數的三次方，不同點則在于，第一雙中項線的兩項差一個正有理數的系數，而第二雙中項線的兩項差一個帶二次根号的系數：

表4

中項線的第一、二餘線僅是将其中的加号改成減号，見命題X.74、X.75。

四、各種無理線段

設下面的各個線段都可以寫成x±y的形式，最左一列和最右一列的每個格裡上一行對應的x y，下一行對應的是x-y。注意下表中的xy，其實也可以寫成2xy，因為這兩者是可公度的嘛。寫成2xy的好處是，和x y連在一起立刻可以看出和完全平方公式有關系，即(x±y)=x±2xy y。

表5

五、以上線段之間的關系

歐幾裡得把各種無理線段分成了這麼多類型，并不是心血來潮，而是經過深思熟慮的，這就表現在各種無理線段之間的聯系上。注意下表的最右列每個格裡有兩個命題，其中第一個命題說的是原線段經過開方之後得到的算術平方根，第二個命題說的則是對應的逆命題，比如第一二項線開方得到二項線（各級二項線都有可能），而二項線平方得到第一二項線。

表6

又，從表2給出的二項線的例子可以看出，第一、二、四、五二項線都可以看做是有理面和中項面的和，而第三、六二項線則可以看做是兩個中項面的和。對照表6可以就理解命題X.71所說的：中項面和有理面相加（開方後）可以産生四個無理線段——二項線、第一雙中項線、主線或者中項面有理面的和。而命題X.72則是說，兩個中項面相加（開方後）可以産生第二雙中項線或者是一個兩中項面和的邊。其實X.71和X.72就是把表6的内容換了個表達方式。

對于餘線來說，則給出了相應的命題X.108、X.109、X.110，分别是：有理面減中項面（開方後）得到餘線或者次線；中項面減有理面（開方後）得到中項線的第一餘線或有理面中項面差的邊；中項面減中項面（開方後）得到中項線的第二餘線或兩中項面差的邊。這隻要将表2中各個例子中的加号換成減号，再對應着看表6，就容易明白了。

六、 其它各種部分命題的含義

X.42~X.47、X.79~X.84各命題是這樣的：已知前面的各種無理線段（比如二項線、雙中項線…乃至餘線等等）都可以寫成x±y的形式，這些命題給出告訴我們，這些無理線段隻能有一種這樣的表達式。舉例來說，1 根号2等于2.414…，這是一個二項線，X.42告訴我們的就是，隻有把這個這個結果分成1和1.414…這樣的兩部分，這兩部分才都是有理線而且僅正方可公度，其它任何方法都不行，比如你把它分成2和0.414…，這樣得到的不可能是兩個僅正方可公度的有理線。

X.66~X.70、X.103~X.107各命題的意思則是：和哪一類無理線段可公度的，就也是那一類的無理線段。X.112、X.113、X.114講的是二項線和餘線的乘除法，這裡就不多說了。（本文共涉及該卷的83個命題，讀者可以根據以上内容自行理解其它命題）

《幾何原本》

作者：歐幾裡得

譯者：張蔔天