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高中數學三大曲線性質
高中數學三大曲線性質
更新时间:2025-06-12 03:54:03

圓錐曲線有很多奇妙的性質。下面我們來探讨一下雙曲線的一個性質及其應用。

性質:A是雙曲線

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)1

上的一點,l1l2是它的兩條漸近線,作

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)2

l1于B,

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)3

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)4

于C,則|AB|·|AC|為定值。

證明:因sin∠BOC為定值,

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)5

,故隻需證得|AD|·|AE|為定值。設點A(x0,y0),而

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)6

的方程為

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)7

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)8

點A到的距離|AD|為

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)9

同理,點A到的距離|AE|為

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)10

因此,

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)11

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)12

,即

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)13

因此,

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)14

為定值,即|AB|·|AC|為定值。

我們完成了這個性質的證明,但我們并未得到這個定值。由于這個性質的存在,我們可以用取特殊點的方法或通過計算sin∠BOC而得到定值。計算可得定值為

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)15

,請讀者自己證明。

這是雙曲線一個很有用的性質,熟練應用可以把一些問題化繁為簡。請看下面兩例。

例1. 如下圖,已知雙曲線

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)16

,一條直線分别與雙曲線及雙曲線的漸近線交于A、B、C、D四點,且

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)17

,k為常數,求ΔAOD的面積。

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)18

解:作DE⊥BO,垂足為E

∵題中雙曲線的兩條漸近線互相垂直

∴CO//DE。由性質可知

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高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)20

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)21

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)22

例2. 如下圖,已知兩點A、C在雙曲線C1

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)23

上,B、D在另一與C1共漸近線的雙曲線C2上,四邊形ABCD為平行四邊形,且鄰邊分别平行兩條漸近線,求C2的方程。

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)24

初看這道題,或許有點找不着思路,因為按照常規計算,計算量是很大的。如果利用雙曲線的上述性質,問題會迎刃而解。

解:設AB交漸近線

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高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)26

,CD交漸近線于

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高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)28

由性質可知:

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)29

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)30

,所以

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)31

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)32

,則

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)33

由于兩雙曲線共漸近線,則

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)34

所以,

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)35

,故

高中數學三大曲線性質(雙曲線的一個性質及應用)36

▍ 來源:綜合網絡

▍ 編輯:Wordwuli

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